Какие числа составляют второй, третий и четвертый члены геометрической прогрессии, если первый член равен 1 и пятый

Mandarin

14

Чтобы найти второй, третий и четвертый члены геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии, которая имеет вид:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - n-й член геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член геометрической прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена.

В данной задаче у нас первый член \(a_1 = 1\) и пятый член \(a_5 = 625\). Нам нужно найти второй (\(a_2\)), третий (\(a_3\)) и четвертый (\(a_4\)) члены прогрессии.

1) Найдем знаменатель прогрессии \(r\).

Мы знаем, что пятый член прогрессии равен 625. Подставив это значение в формулу, получим:

\[625 = 1 \cdot r^{(5-1)}\]

Упростили выражение, теперь у нас:

\[625 = r^4\]

Теперь найдем значение \(r\) возведением обеих сторон уравнения в степень \(1/4\):

\[\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{r^4}\]

\[\sqrt[4]{625} = r\]

\(\sqrt[4]{625} = 5\), тогда \(r = 5\).

2) Теперь, когда у нас есть значение \(r\), мы можем найти второй (\(a_2\)), третий (\(a_3\)) и четвертый (\(a_4\)) члены прогрессии, используя формулу общего члена прогрессии.

\[a_2 = 1 \cdot 5^{(2-1)}\]
\[a_3 = 1 \cdot 5^{(3-1)}\]
\[a_4 = 1 \cdot 5^{(4-1)}\]

Упростим каждое уравнение:

\[a_2 = 1 \cdot 5^1 = 5\]
\[a_3 = 1 \cdot 5^2 = 25\]
\[a_4 = 1 \cdot 5^3 = 125\]

Таким образом, второй (\(a_2\)), третий (\(a_3\)) и четвертый (\(a_4\)) члены геометрической прогрессии равны соответственно 5, 25 и 125.

Чтобы найти сумму этих трех чисел, просто сложите их:

\[a_2 + a_3 + a_4 = 5 + 25 + 125 = 155\]

Таким образом, сумма второго, третьего и четвертого членов геометрической прогрессии равна 155.