Каковы решения системы уравнений? { 2x+y=4 { xy+2x=-12

Kuzya

59

Чтобы решить данную систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания. Давайте решим ее пошагово, чтобы все было понятно.

Метод подстановки:

1) Выразим одну переменную через другую в одном из уравнений. Давайте выразим y в первом уравнении:
2x + y = 4 => y = 4 - 2x

2) Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:
xy + 2x = -12 => x(4 - 2x) + 2x = -12
4x - 2x^2 + 2x = -12
-2x^2 + 6x = -12

3) Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
-2x^2 + 6x + 12 = 0

4) Перепишем уравнение в стандартной форме:
-2x^2 + 6x + 12 = 0 => x^2 - 3x - 6 = 0

5) Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение или метод факторизации или даже формулу дискриминанта. Воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней:
Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

В нашем уравнении:
a = 1, b = -3, c = -6

Дискриминант (D) = (-3)^2 - 4 * 1 * (-6) = 9 + 24 = 33

Поскольку дискриминант положителен (D > 0), у нас есть два различных вещественных корня.

6) Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:
x = (-(-3) ± √33) / (2 * 1)

Упростим выражение:
x = (3 ± √33) / 2

Таким образом, у нас есть два значения x. Пусть их обозначения будут x1 и x2:
x1 = (3 + √33) / 2
x2 = (3 - √33) / 2

7) Теперь подставим найденные значения x в любое из исходных уравнений, чтобы вычислить соответствующие значения y.

Если x = x1:
y = 4 - 2x1

Если x = x2:
y = 4 - 2x2

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из двух пар значений (x, y):

(x1, 4 - 2x1) и (x2, 4 - 2x2)

Где:
x1 = (3 + √33) / 2
x2 = (3 - √33) / 2