Какие длины имеют отрезки, исходящие из вершины p, если∡a=80°, ∡n=45°? Упорядочьте отрезки по возрастанию их длин

Викторович

4

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о треугольнике и его углах.

У нас есть треугольник с вершиной p. Угол между отрезком pa и отрезком pn обозначен как ∡a и ∡n соответственно.

Зная значения углов ∡a = 80° и ∡n = 45°, мы можем использовать свойства треугольников для определения длин отрезков, исходящих из вершины p.

Поскольку угол ∡a равен 80°, то сумма углов ∡a и ∡n, образованных отрезками pa и pn, должна быть равна 180° (сумма углов треугольника).

Таким образом, ∡a + ∡n = 80° + 45° = 125°. Недостающий угол в треугольнике равен 180° - 125° = 55°.

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину отрезка pa. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно одной и той же константе.

В нашем случае, это отношение можно записать как \(\frac{{pa}}{{\sin \angle p}} = \frac{{pn}}{{\sin \angle a}}\), где \(\angle p\) - угол при вершине p, а \(\angle a\) - угол при вершине a.

Подставляя известные значения, получаем \(\frac{{pa}}{{\sin 55°}} = \frac{{pn}}{{\sin 80°}}\).

Теперь мы можем найти длину отрезка pa: \(pa = pn \cdot \frac{{\sin 55°}}{{\sin 80°}}\).

Аналогично, мы можем использовать теорему синусов для определения длины отрезка pn: \(pn = pa \cdot \frac{{\sin 80°}}{{\sin 55°}}\).

Теперь осталось только вычислить значения синусов углов 55° и 80° и подставить их в формулы.

\(\sin 55° \approx 0.819\) и \(\sin 80° \approx 0.985\).

Вычислим значения длин отрезков pa и pn:

\(pa = pn \cdot \frac{{0.819}}{{0.985}} \approx 0.819 \cdot pn\)

\(pn = pa \cdot \frac{{0.985}}{{0.819}} \approx 1.203 \cdot pa\)

Теперь, упорядочивая отрезки по возрастанию их длин, получаем:

\(pa < pn\), где \(pa \approx 0.819 \cdot pn\).

Таким образом, мы получили, что длина отрезка pa меньше длины отрезка pn.