Какие длины сторон равнобедренного треугольника создадут максимальную площадь, если его периметр равен 58? Предоставьте

Снегурочка

54

Чтобы найти длины сторон равнобедренного треугольника, создающие максимальную площадь, когда его периметр равен 58, мы можем использовать понятие производной и метод максимума функции. Позвольте мне объяснить.

Пусть \(x\) - это длина одного из равных боковых сторон треугольника, а \(y\) - это длина третьей стороны треугольника. Так как у нас равнобедренный треугольник, то длины двух боковых сторон равны между собой, и мы можем обозначить их как \(x\).

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Определяем периметр нашего треугольника как:

\[58 = 2x + y\]

Теперь обратимся к формуле для нахождения площади треугольника. Она выражается как половина произведения длины основания треугольника и высоты, опущенной на это основание.

Высота треугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора и известных длин сторон. Мы не знаем длину основания, но мы можем выразить ее через \(x\) и \(y\) следующим образом:

\[y = \sqrt{x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2}\]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника \(A\) через \(x\) и \(y\):

\[A = \frac{1}{2}x \cdot \sqrt{x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2}\]

Но у нас есть уравнение ограничения нашей задачи в виде периметра треугольника:

\[58 = 2x + y\]

Теперь мы можем выразить \(y\) через \(x\) из уравнения на периметр:

\[y = 58 - 2x\]

Подставляя это значение \(y\) в уравнение для площади треугольника, получаем:

\[A = \frac{1}{2}x \cdot \sqrt{x^2 - \left(\frac{58 - 2x}{2}\right)^2}\]

Теперь у нас есть функция площади \(A\) только от \(x\). Мы можем найти максимальную площадь, взяв производную от \(A\) по \(x\), приравняв ее к нулю и решив уравнение относительно \(x\).

Позвольте мне выполнить эти вычисления.