Какие должны быть размеры прямоугольного участка, чтобы затратить как можно меньше материала на ограждение площадью

Zimniy_Vecher

61

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать производную. Давайте введем переменные для длины и ширины участка: пусть длина будет обозначаться как \(x\), а ширина - как \(y\).

Так как у нас прямоугольный участок, площадь можно выразить как произведение длины на ширину: \(S = xy\). Мы также знаем, что площадь участка равна 4900 м², поэтому у нас есть уравнение:

\[xy = 4900\]

Наша задача состоит в том, чтобы найти размеры, при которых затраты на ограждение будут минимальными. Затраты на ограждение можно определить как периметр прямоугольника. Периметр равен \(P = 2x + 2y\).

Теперь нам нужно найти размеры, которые минимизируют эту функцию. Для этого мы возьмем производную от \(P\) по переменным \(x\) и \(y\), приравняем их к нулю и решим полученную систему уравнений:

\[\frac{{dP}}{{dx}} = 2 = 0\]
\[\frac{{dP}}{{dy}} = 2 = 0\]

Исследуя эти уравнения, мы увидим, что они не имеют никаких решений. Это означает, что периметр функции \(P\) не имеет экстремума на этой кривой. Однако, у нас есть другое уравнение \(xy = 4900\), которое мы можем использовать для решения этой задачи.

Оно задает связь между переменными \(x\) и \(y\). Чтобы минимизировать периметр при заданной площади, мы можем использовать это уравнение.

Воспользуемся методом замены переменных и выразим одну переменную через другую. Решим уравнение относительно \(y\):

\[y = \frac{{4900}}{{x}}\]

Теперь у нас есть соотношение между \(x\) и \(y\), и мы можем заменить \(y\) в выражении для периметра, используя это соотношение:

\[P = 2x + 2\left(\frac{{4900}}{{x}}\right)\]

Теперь нам нужно найти минимум этой функции. Давайте возьмем производную по \(x\):

\[\frac{{dP}}{{dx}} = 2 - 2\left(\frac{{4900}}{{x^2}}\right)\]

Чтобы найти минимум, приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

\[2 - 2\left(\frac{{4900}}{{x^2}}\right) = 0\]
\[1 - \frac{{4900}}{{x^2}} = 0\]
\[\frac{{4900}}{{x^2}} = 1\]
\[x^2 = 4900\]
\[x = \sqrt{4900} = 70\]

У нас есть значение \(x\), теперь мы можем найти соответствующее значение \(y\) с помощью уравнения \(xy = 4900\):

\[y = \frac{{4900}}{{x}} = \frac{{4900}}{{70}} = 70\]

Таким образом, оптимальные размеры прямоугольного участка, чтобы затратить как можно меньше материала на ограждение площадью 4900 м², составляют 70 метров в длину и 70 метров в ширину.