Какие два числа нужно найти, если их произведение в пять раз больше разности и на 56 больше суммы?

Zolotoy_Medved

21

Пусть первое число обозначается как \(x\), а второе число как \(y\). У нас есть два условия, которые описывают отношения между этими числами.

Первое условие: их произведение в пять раз больше разности. Мы можем записать это следующим образом:

\[xy = 5(x - y)\]

Второе условие: разность чисел увеличена на 56 по сравнению с их суммой. Мы можем записать это следующим образом:

\[x - y = x + y + 56\]

Теперь наша задача решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).

Давайте начнем с второго уравнения. Раскрывая скобки, получим:

\[x - y = x + y + 56\]
\[x - x + y - y = x + x + y + y + 56\]
\[0 = 2x + 2y + 56\]
\[2x + 2y = -56\]

Мы можем упростить это уравнение, поделив обе части на 2:

\[x + y = -28\]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[\begin{align*}
xy &= 5(x - y) \\
x + y &= -28
\end{align*}\]

Решим первое уравнение относительно \(x - y\):

\[xy = 5(x - y)\]
\[xy = 5x - 5y\]
\[xy - 5x + 5y = 0\]
\[x(y - 5) + 5y = 0\]
\[x(y - 5) = -5y\]

Разделим обе части на \(y - 5\):

\[x = \frac{-5y}{y - 5}\]

Теперь заменим значение \(x\) во втором уравнении:

\[\frac{-5y}{y - 5} + y = -28\]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно избавиться от знаменателя. Мы можем умножить обе части на \(y - 5\):

\[-5y + y(y - 5) = -28(y - 5)\]
\[-5y + y^2 - 5y = -28y + 140\]
\[y^2 - 10y = -28y + 140\]
\[y^2 + 18y - 140 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Для его решения мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. Сначала попробуем факторизацию:

\[(y - 2)(y + 20) = 0\]

Из этого получаем два решения:

\(y - 2 = 0\) или \(y + 20 = 0\)

Решая каждое уравнение отдельно, получаем:

\(y = 2\) или \(y = -20\)

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(x\), подставим значения \(y\) в одно из изначальных уравнений. Давайте возьмем \(y = 2\):

\[x + 2 = -28\]
\[x = -30\]

Таким образом, первое число равно -30, а второе число равно 2.

Мы нашли два числа: -30 и 2. Они удовлетворяют условиям задачи, где их произведение в пять раз больше разности и на 56 больше суммы.