Какие из нижеприведенных утверждений верны: Если функция f возрастает, то функция, обратная к ней, f -1, тоже

Весенний_Дождь

63

В данной задаче рассматривается связь между возрастающими и убывающими функциями и их обратными. Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и объясним, верно ли оно или нет.

1. Если функция \(f\) возрастает, то ее обратная функция \(f^{-1}\) также возрастает.

Пусть у нас есть функция \(f\), которая возрастает. Это означает, что с увеличением значения аргумента \(x\) значение функции \(f(x)\) также возрастает. Обратная функция \(f^{-1}\) будет отображать значения, полученные функцией \(f\), обратно к исходным значениям аргумента.

Таким образом, если у нас есть \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\). Когда мы применяем обратную функцию \(f^{-1}\) к результату функции \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\), мы получаем \(f^{-1}(f(x_1)) < f^{-1}(f(x_2))\). Но так как \(f^{-1}(f(x_1)) = x_1\) и \(f^{-1}(f(x_2)) = x_2\), то получаем \(x_1 < x_2\), что указывает на то, что \(f^{-1}\) также возрастает.

Итак, первое утверждение верно.

2. Если функция \(f\) возрастает, то ее обратная функция \(f^{-1}\) уменьшается.

Это утверждение неверно. Ошибка состоит в неправильном понимании того, что делает обратная функция. Она не просто уменьшает результат функции \(f\), а восстанавливает исходные значения аргумента.

Предположим, что функция \(f\) возрастает. Если мы возьмем два значения \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_1 < x_2\), то получим \(f(x_1) < f(x_2)\). Если мы применим обратную функцию \(f^{-1}\) к результату функции \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\), мы получим \(f^{-1}(f(x_1)) > f^{-1}(f(x_2))\). Однако \(f^{-1}(f(x_1)) = x_1\) и \(f^{-1}(f(x_2)) = x_2\), что означает, что обратная функция \(f^{-1}\) не уменьшается.

Итак, второе утверждение неверно.

3. Если функция \(f\) убывает, то ее обратная функция \(f^{-1}\) возрастает.

Пусть у нас есть функция \(f\), которая убывает. Это означает, что с увеличением значения аргумента \(x\) значение функции \(f(x)\) уменьшается. Обратная функция \(f^{-1}\) будет отображать значения, полученные функцией \(f\), обратно к исходным значениям аргумента.

Таким образом, если у нас есть \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\). Когда мы применяем обратную функцию \(f^{-1}\) к результату функции \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\), мы получаем \(f^{-1}(f(x_1)) > f^{-1}(f(x_2))\). Так как \(f^{-1}(f(x_1)) = x_1\) и \(f^{-1}(f(x_2)) = x_2\), то получаем \(x_1 < x_2\), что указывает на то, что \(f^{-1}\) возрастает.

Итак, третье утверждение верно.

4. Если функция \(f\) убывает, то ее обратная функция \(f^{-1}\) также убывает.

Это утверждение неверно. Аналогично предыдущему пояснению, обратная функция \(f^{-1}\) не просто убывает в значении, а восстанавливает исходные значения аргумента.

Поэтому, четвертое утверждение неверно.

Итак, из данных утверждений только первое и третье верны.