Проанализировать функцию и нарисовать ее график: y=x^4-8x^2+7

Пылающий_Жар-птица

3

Конечно! Давайте разберемся с анализом функции и построением графика.

Для начала, нам нужно проанализировать функцию \( y = x^4 - 8x^2 + 7 \) и найти ее основные свойства. Давайте рассмотрим поэлементно каждый член функции:

1. \( x^4 \) - это четвертая степень переменной \( x \). Этот член отвечает за поведение функции при возведении в степень 4. Когда \( x \) приближается к бесконечности или отрицательной бесконечности, этот член также становится бесконечно большим. Он отражает увеличение функции с возрастанием \( x \).
2. \( -8x^2 \) - это вторая степень переменной \( x \), умноженная на -8. Этот член отвечает за поведение функции при возведении в степень 2. Он дает функции параболическую форму. При достаточно больших значениях \( x \) этот член будет стремиться к отрицательной бесконечности.
3. 7 - это просто константа, добавляемая к функции. Она задает вертикальное смещение графика вверх на 7 единиц.

Теперь мы можем перейти к построению графика. Для начала, определим оси координат \( x \) и \( y \) и их масштабы. Затем, выберите несколько значений \( x \) и найдите соответствующие значения \( y \) для построения точек на графике.

Давайте рассмотрим некоторые значения \( x \) для примера:

1. Подставим \( x = -2 \):
\( y = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 7 \)
\( y = 16 - 32 + 7 = -9 \)
Получили точку (-2, -9).

2. Подставим \( x = 0 \):
\( y = (0)^4 - 8(0)^2 + 7 \)
\( y = 0 - 0 + 7 = 7 \)
Получили точку (0, 7).

3. Подставим \( x = 2 \):
\( y = (2)^4 - 8(2)^2 + 7 \)
\( y = 16 - 32 + 7 = -9 \)
Получили точку (2, -9).

Повторяя этот процесс для других значений \( x \), мы можем найти больше точек на графике. Например, можем выбрать \( x = -3 \), \( x = 3 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \) для дальнейшей иллюстрации.

Теперь, имея достаточное количество точек, давайте соединим их гладкой кривой. Обратите внимание, что наша функция является параболой, которая открывается вверх из-за положительного старшего коэффициента \( x^4 \).

Вот график функции \( y = x^4 - 8x^2 + 7 \):

\[
\begin{equation}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-4, xmax=4,
ymin=-10, ymax=10,
xtick={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},
ytick={-10,-7.5,-5,-2.5,0,2.5,5,7.5,10},
scaled ticks=false,
width=10cm,
grid=both,
grid style={line width=.2pt, draw=gray!40},
legend style={at={(0.5,-0.15)},anchor=north}
]
\addplot[
domain=-2.5:2.5,
samples=100,
color=blue
]{x^4 - 8*x^2 + 7};
\legend{\(y = x^4 - 8x^2 + 7\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{equation}
\]

На графике выше видно, что функция имеет форму параболы, открывающейся вверх. Она имеет ось симметрии в точке (0, 7) и проходит через точки (-2, -9) и (2, -9).

Надеюсь, этот ответ был подробным и доступным для понимания школьника. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!