Какие координаты имеет вектор А, который является перпендикулярным векторам В = (-1;1;3) и С = (3;4;-2), и его длина
Какие координаты имеет вектор А, который является перпендикулярным векторам В = (-1;1;3) и С = (3;4;-2), и его длина равна √54? Ответ запишите в виде "(12;-34;56)"
Морозный_Король 8
Для начала найдем векторное произведение между векторами В и С, чтобы получить перпендикулярный вектор. Воспользуемся формулой для векторного произведения:\[ \mathbf{A} = \mathbf{B} \times \mathbf{C} \]
Для вычисления векторного произведения, расположим векторы В и С в матричной форме:
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Теперь можем вычислить векторное произведение:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Вычислим каждую компоненту вектора А в отдельности. Для этого воспользуемся формулой для векторного произведения:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} B_2C_3 - B_3C_2 \\ B_3C_1 - B_1C_3 \\ B_1C_2 - B_2C_1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) \\ (-1) \cdot 4 - 1 \cdot 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 - 4 \\ 3 - 2 \\ -4 - 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} \]
Таким образом, вектор A, который является перпендикулярным векторам В и С, имеет координаты (-2; 1; -7).
Теперь осталось вычислить длину вектора A. Мы знаем, что длина вектора равна корню из суммы квадратов его компонент:
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-7)^2} \]
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{4 + 1 + 49} \]
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{54} \]
Таким образом, длина вектора A равна \(\sqrt{54}\).
Итак, вектор А, который является перпендикулярным векторам В и С и имеет длину \(\sqrt{54}\), имеет координаты \(-2; 1; -7\). Ответ записывается в виде \((-2; 1; -7)\).