Какие квадраты максимального размера можно получить из этого листа картона? Сколько таких квадратов можно получить?

Fontan

55

\[n\] штук.

Для решения данной задачи, нам необходимо найти наибольший возможный квадрат, который можно вырезать из данного листа картона. Поэтому мы должны найти наибольший общий делитель (\(НОД\)) для длины и ширины листа картона.

Предположим, что длина листа картона равна \(x\) см, а ширина равна \(y\) см. Тогда наибольший общий делитель (\(НОД\)) для \(x\) и \(y\) будет наибольшим возможным квадратом. После того, как мы найдем \(НОД\), мы можем вычислить количество таких квадратов, которое мы сможем получить.

Чтобы найти \(НОД\), можно воспользоваться алгоритмом Евклида. Алгоритм заключается в последовательном нахождении остатка от деления одного числа на другое. Продолжая этот процесс, мы дойдем до момента, когда остаток станет равным нулю. На предыдущем шаге получится \(НОД\).

Поэтому, чтобы найти \(НОД\), мы делим \(x\) на \(y\), затем делим \(y\) на остаток от деления предыдущего шага и повторяем этот процесс до тех пор, пока остаток от деления не станет равным нулю.

После нахождения \(НОД\), мы получаем сторону квадрата. Таким образом, максимальный размер квадрата, который можно получить из данного листа картона, будет равен \(НОД\) см на \(НОД\) см.

Чтобы найти количество таких квадратов, мы делим длину листа картона на сторону квадрата (\(НОД\)) и умножаем результат на ширину листа картона, деленную на сторону квадрата (\(НОД\)). То есть:

\[\frac{x}{НОД} \times \frac{y}{НОД} = \frac{x \cdot y}{НОД^2}\]

Итак, получаем, что из данного листа картона можно получить квадраты максимального размера, равные \(НОД\) см на \(НОД\) см. Всего таких квадратов будет \(\frac{x \cdot y}{НОД^2}\) штук.