Какие наибольшее и наименьшее значения принимает функция f(x)=x^4-8x^2-9 на интервале [-3;5]?

  • 49
Какие наибольшее и наименьшее значения принимает функция f(x)=x^4-8x^2-9 на интервале [-3;5]?
Mishka
8
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=x48x29 на интервале [3;5], мы можем использовать процесс поиска экстремумов функции. Для начала, найдем критические точки функции f(x), которые могут быть экстремумами или точками перегиба.

1. Найдем производную функции f(x), взяв производную каждого члена:
f"(x)=4x316x.

2. Решим уравнение f"(x)=0, чтобы найти критические точки:
4x316x=0.

3. Вынесем общий множитель 4x и приведем уравнение к виду:
4x(x24)=0.

4. Первый множитель 4x дает нам решение x=0, а второй множитель x24 может быть решен как квадратное уравнение:
x24=0(x2)(x+2)=0.

5. Получаем две дополнительные критические точки: x=2 и x=2.

Теперь, чтобы определить, какая из найденных точек является максимумом, а какая минимумом на интервале [3;5], мы можем построить таблицу знаков или использовать вторую производную функции.

6. Найдем вторую производную f""(x) функции f(x), взяв производную от f"(x):
f""(x)=12x216.

7. Подставим значения критических точек x=2, x=0 и x=2 в f""(x), чтобы определить знаки второй производной и тип каждой критической точки.

- При x=2: f""(2)=12(2)216=44>0, значит, точка x=2 является локальным минимумом.
- При x=0: f""(0)=12(0)216=16<0, значит, точка x=0 является локальным максимумом.
- При x=2: f""(2)=12(2)216=44>0, значит, точка x=2 является локальным минимумом.

Таким образом, получаем следующую информацию о наибольшем и наименьшем значениях функции f(x) на интервале [3;5]:

- Максимальное значение функции: f(0)=(0)48(0)29=9.
- Минимальное значение функции: f(2)=(2)48(2)29=33.

Пожалуйста, обратите внимание, что найденные значения x и f(x) являются приближенными значениями и могут быть округлены до ближайшего целого числа для удобства понимания.