Какие наибольшее и наименьшее значения принимает функция f(x)=x^4-8x^2-9 на интервале [-3;5]?

Mishka

8

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \(f(x) = x^4 - 8x^2 - 9\) на интервале \([-3; 5]\), мы можем использовать процесс поиска экстремумов функции. Для начала, найдем критические точки функции \(f(x)\), которые могут быть экстремумами или точками перегиба.

1. Найдем производную функции \(f(x)\), взяв производную каждого члена:
\[f"(x) = 4x^3 - 16x.\]

2. Решим уравнение \(f"(x) = 0\), чтобы найти критические точки:
\[4x^3 - 16x = 0.\]

3. Вынесем общий множитель \(4x\) и приведем уравнение к виду:
\[4x(x^2 - 4) = 0.\]

4. Первый множитель \(4x\) дает нам решение \(x = 0\), а второй множитель \(x^2 - 4\) может быть решен как квадратное уравнение:
\[x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) = 0.\]

5. Получаем две дополнительные критические точки: \(x = 2\) и \(x = -2\).

Теперь, чтобы определить, какая из найденных точек является максимумом, а какая минимумом на интервале \([-3; 5]\), мы можем построить таблицу знаков или использовать вторую производную функции.

6. Найдем вторую производную \(f""(x)\) функции \(f(x)\), взяв производную от \(f"(x)\):
\[f""(x) = 12x^2 - 16.\]

7. Подставим значения критических точек \(x = -2\), \(x = 0\) и \(x = 2\) в \(f""(x)\), чтобы определить знаки второй производной и тип каждой критической точки.

- При \(x = -2\): \(f""(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 44 > 0\), значит, точка \(x = -2\) является локальным минимумом.
- При \(x = 0\): \(f""(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 < 0\), значит, точка \(x = 0\) является локальным максимумом.
- При \(x = 2\): \(f""(2) = 12(2)^2 - 16 = 44 > 0\), значит, точка \(x = 2\) является локальным минимумом.

Таким образом, получаем следующую информацию о наибольшем и наименьшем значениях функции \(f(x)\) на интервале \([-3; 5]\):

- Максимальное значение функции: \(f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 - 9 = -9\).
- Минимальное значение функции: \(f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 - 9 = -33\).

Пожалуйста, обратите внимание, что найденные значения \(x\) и \(f(x)\) являются приближенными значениями и могут быть округлены до ближайшего целого числа для удобства понимания.