Какие наибольшее и наименьшее значения принимает функция f(x)=x^4-8x^2-9 на интервале [-3;5]?

Mishka

8

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)=x^4-8x^2-9$ на интервале $[-3;5]$, мы можем использовать процесс поиска экстремумов функции. Для начала, найдем критические точки функции $f(x)$, которые могут быть экстремумами или точками перегиба.

1. Найдем производную функции $f(x)$, взяв производную каждого члена:
$$f"(x)=4x^3-16x.$$

2. Решим уравнение $f"(x)=0$, чтобы найти критические точки:
$$4x^3-16x=0.$$

3. Вынесем общий множитель $4x$ и приведем уравнение к виду:
$$4x(x^2-4)=0.$$

4. Первый множитель $4x$ дает нам решение $x=0$, а второй множитель $x^2-4$ может быть решен как квадратное уравнение:
$$x^2-4=0\Rightarrow (x-2)(x+2)=0.$$

5. Получаем две дополнительные критические точки: $x=2$ и $x=-2$.

Теперь, чтобы определить, какая из найденных точек является максимумом, а какая минимумом на интервале $[-3;5]$, мы можем построить таблицу знаков или использовать вторую производную функции.

6. Найдем вторую производную $f""(x)$ функции $f(x)$, взяв производную от $f"(x)$:
$$f""(x)=12x^2-16.$$

7. Подставим значения критических точек $x=-2$, $x=0$ и $x=2$ в $f""(x)$, чтобы определить знаки второй производной и тип каждой критической точки.

- При $x=-2$: $f""(-2)=12(-2{)}^2-16=44>0$, значит, точка $x=-2$ является локальным минимумом.
- При $x=0$: $f""(0)=12(0{)}^2-16=-16<0$, значит, точка $x=0$ является локальным максимумом.
- При $x=2$: $f""(2)=12(2{)}^2-16=44>0$, значит, точка $x=2$ является локальным минимумом.

Таким образом, получаем следующую информацию о наибольшем и наименьшем значениях функции $f(x)$ на интервале $[-3;5]$:

- Максимальное значение функции: $f(0)=(0{)}^4-8(0{)}^2-9=-9$.
- Минимальное значение функции: $f(-2)=(-2{)}^4-8(-2{)}^2-9=-33$.

Пожалуйста, обратите внимание, что найденные значения $x$ и $f(x)$ являются приближенными значениями и могут быть округлены до ближайшего целого числа для удобства понимания.