Какие натуральные числа m не равные 1 делятся на 6n+5 и 7n+5?

Zolotoy_Ray_3717

16

Давайте разберем эту задачу пошагово.

Мы ищем натуральные числа \(m\) такие, что они делятся и на \(6n+5\) и на \(7n+5\), где \(n\) - это целое число. Давайте перепишем это условие в виде уравнений:

\[
\begin{align*}
m &\equiv 0 \pmod{6n+5} \\
m &\equiv 0 \pmod{7n+5}
\end{align*}
\]

Теперь давайте воспользуемся Китайской теоремой об остатках для решения этой системы уравнений.

Сначала давайте найдем обратные элементы по модулям \(6n+5\) и \(7n+5\), чтобы мы могли использовать умножение в обоих уравнениях. Для этого нам нужно убедиться, что модули \(6n+5\) и \(7n+5\) взаимно просты.

Проверим взаимную простоту:

\[
\begin{align*}
\text{НОД}(6n+5, 7n+5) &= \text{НОД}(6n+5, (7n+5)-(6n+5)) \\
&= \text{НОД}(6n+5, n) \\
&= \text{НОД}(5, n)
\end{align*}
\]

Таким образом, мы видим, что если \(n\) не делится на 5, то \(\text{НОД}(6n+5, 7n+5) = 1\), и можем продолжать.

Теперь найдем обратные элементы. Для \(6n+5\) обратный элемент будет обозначаться как \((6n+5)^{-1}\), а для \(7n+5\) обратный элемент будет обозначаться как \((7n+5)^{-1}\).

Теперь мы можем записать общее решение нашей системы уравнений:

\[
m \equiv 0 \cdot (7n+5) \cdot (7n+5)^{-1} + 0 \cdot (6n+5) \cdot (6n+5)^{-1} \pmod{(6n+5)(7n+5)}
\]

Упрощая это, получим:

\[
m \equiv 0 \pmod{(6n+5)(7n+5)}
\]

Таким образом, любое натуральное число \(m\), большее 1, будет удовлетворять данному условию.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять решение этой задачи.