Какие натуральные числа n удовлетворяют уравнению a^{2}n=12?

Skrytyy_Tigr

53

Для решения данной задачи нам необходимо найти все натуральные числа \(n\), которые удовлетворяют уравнению \(a^2n = 12\).

Для начала, давайте разложим число 12 на простые множители, чтобы увидеть его структуру: \(12 = 2^2 \cdot 3\). Теперь мы можем переписать уравнение так: \(a^2n = 2^2 \cdot 3\).

Заметим, что наше число содержит простой множитель 3. Так как 3 не является квадратом любого целого числа, то любой квадрат числа \(a\) всегда будет иметь множитель 3. То есть, если \(a^2\) кратно 3, то число \(a\) также будет кратно 3.

Таким образом, наше уравнение \(a^2n = 2^2 \cdot 3\) может быть выполнено только в двух случаях:

1. Если \(n = 3\) и \(a^2 = 2^2\).
2. Если \(n = 2 \cdot 3\) и \(a^2 = 1\) (в этом случае число \(a\) может быть равным 1 или -1).

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев подробнее:

1. Если \(n = 3\) и \(a^2 = 2^2\), то это означает, что \(n = 3\) и \(a = 2\) (как наименьшее естественное число, у которого квадрат равен 4). Таким образом, одно из решений уравнения \(a^2n = 12\) – это \((a,n) = (2,3)\).

2. Если \(n = 2 \cdot 3\) и \(a^2 = 1\), то это означает, что \(n = 6\) и \(a = 1\) (как наименьшее естественное число, у которого квадрат равен 1). Таким образом, другое решение уравнения \(a^2n = 12\) – это \((a,n) = (1,6)\).

Итак, решениями уравнения \(a^2n = 12\) являются \((a,n) = (2,3)\) и \((a,n) = (1,6)\).