Какие пары векторов среди m(3; 2), n(2⅓; -1), p(7; -3) и k(4; 11) являются неколлинеарными?

Tigressa

18

Для определения коллинеарности или неколлинеарности векторов, мы можем воспользоваться понятием векторного произведения. Если два вектора являются коллинеарными, то их векторное произведение равно нулю. Если векторное произведение не равно нулю, то векторы неколлинеарны.

Давайте проверим пары векторов m и n, m и p, m и k, n и p, n и k, p и k по очереди.

Для пары векторов m(3; 2) и n(2⅓; -1), воспользуемся формулой векторного произведения:

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
3 & 2 & 0 \\
2⅓ & -1 & 0
\end{vmatrix}
\]

Вычислим это выражение:

\(i(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) - j(2⅓ \cdot 0 - 0 \cdot 3) + k(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 2⅓)\)

\( = i(0) - j(0) + k(-3 - \frac{4}{3})\)

\( = - \frac{4}{3}k\)

Поскольку полученное векторное произведение равно \( - \frac{4}{3}k \neq 0 \), то пара векторов m и n является неколлинеарной.

Теперь проверим пару векторов m и p:

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
3 & 2 & 0 \\
7 & -3 & 0
\end{vmatrix}
\]

Вычисляем:

\(i(2 \cdot 0 - (-3) \cdot 0) - j(7 \cdot 0 - 0 \cdot 3) + k(3 \cdot (-3) - 2 \cdot 7)\)

\( = i(0) - j(0) + k(-9 - 14)\)

\( = -23k\)

Получаем \( -23k \neq 0 \), значит пара векторов m и p тоже неколлинеарна.

Перейдем к проверке пары m и k:

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
3 & 2 & 0 \\
4 & 11 & 0
\end{vmatrix}
\]

Вычисляем:

\(i(2 \cdot 0 - 11 \cdot 0) - j(4 \cdot 0 - 3 \cdot 11) + k(3 \cdot 11 - 2 \cdot 4)\)

\( = i(0) - j(0) + k(33 - 8)\)

\( = 25k\)

Так как \( 25k \neq 0 \), пара векторов m и k также является неколлинеарной.

Проверим пару векторов n и p:

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
2⅓ & -1 & 0 \\
7 & -3 & 0
\end{vmatrix}
\]

Вычисляем:

\(i((-1) \cdot 0 - (-3) \cdot 0) - j(7 \cdot 0 - 0 \cdot 2⅓) + k((-1) \cdot (-3) - 2⅓ \cdot 7)\)

\( = i(0) - j(0) + k(-3 - \frac{14}{3})\)

\( = -3k - \frac{14}{3}k\)

Здесь получаем комплексное значение, и пара векторов n и p не является неколлинеарной.

Проверим последнюю пару векторов n и k:

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
2⅓ & -1 & 0 \\
4 & 11 & 0
\end{vmatrix}
\]

Вычисляем:

\(i((-1) \cdot 0 - 11 \cdot 0) - j(4 \cdot 0 - 0 \cdot 2⅓) + k(2⅓ \cdot 11 - (-1) \cdot 4)\)

\( = i(0) - j(0) + k(\frac{23}{3} + 4)\)

\( = \frac{23}{3}k + 4k\)

Здесь также получаем комплексное значение, и пара векторов n и k не является неколлинеарной.

Итак, из представленных пар векторов неколлинеарными являются пары m и n, m и p, m и k.