Какие песни могли получить наибольшее количество голосов очень нравится и совсем не нравится одновременно?

Kuzya

49

Для решения этой задачи нам необходимо использовать принцип включения-исключения.

Предположим, что у нас есть \(n\) различных песен. Мы знаем, что каждая песня может быть оценена как "очень нравится", "нравится", "нейтрально", "не нравится" или "совсем не нравится". Давайте обозначим количество песен, которые нам нравятся, как \(A\), количество песен, которые нам не нравятся, как \(B\), и общее количество песен, которые мы оценили, как \(n\).

Мы хотим найти песни, которым одновременно поставлены оценки "очень нравится" и "совсем не нравится". Мы можем найти количество песен, которые оценены как "очень нравится" и количество песен, которые оценены как "совсем не нравится". Пусть количество песен, которые нам очень нравятся, обозначается как \(x\), а количество песен, которые нам совсем не нравятся, обозначается как \(y\).

Теперь мы можем использовать принцип включения-исключения:

\[
|A \cap B| = |A| + |B| - 2|A \cup B|
\]

где \(|A \cap B|\) обозначает количество песен, которые одновременно нам "очень нравятся" и "совсем не нравятся", \(|A|\) обозначает количество песен, которые нам "очень нравятся", \(|B|\) обозначает количество песен, которые нам "совсем не нравятся", а \(|A \cup B|\) обозначает общее количество песен, которые мы оценили.

Теперь мы можем использовать этот принцип для нахождения максимального значения \(|A \cap B|\).

Максимальное значение \(|A \cap B|\) будет достигаться, когда \(|A|\) и \(|B|\) будут максимальными, а \(|A \cup B|\) будет минимальным. В таком случае, каждая песня, которую мы оценили, должна быть либо оценена как "очень нравится", либо как "совсем не нравится".

Таким образом, для получения наибольшего количества песен, которые одновременно могли бы иметь оценки "очень нравится" и "совсем не нравится", все песни должны быть оценены только этими двумя категориями. В этом случае, максимальное значение \(|A \cap B|\) будет равно минимуму между \(|A|\) и \(|B|\).

Предлагаю рассмотреть конкретный пример, чтобы все стало более понятно. Пусть у нас есть 10 песен. Мы оценили все песни как "очень нравится" или "совсем не нравится". Если у нас 6 песен оценены как "очень нравится", а 4 песни оценены как "совсем не нравится", то максимальное количество песен, которые могут одновременно иметь эти оценки, будет равно минимуму между 6 и 4, т.е. 4 песни.

Таким образом, чтобы получить наибольшее количество песен, которые могут одновременно иметь оценки "очень нравится" и "совсем не нравится", нужно оценить каждую из песен только этими двуми категориями, при том, что количество песен, оцененных как "очень нравится", должно быть равно количеству песен, оцененных как "совсем не нравится".