Какие прямые проходят через точки пересечения линий 2x+3y=6 и x+y=0?

Poyuschiy_Homyak

12

Чтобы найти прямые, проходящие через точки пересечения данных линий, нам нужно сначала найти эти точки пересечения. Для этого решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
x + y = 0 \\
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений двумя разными способами: использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания.

Давайте начнем с метода сложения/вычитания. Мы можем сократить одну из переменных, чтобы избавиться от нее. В данном случае, для удобства, умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты перед переменными x в обоих уравнениях совпали:

\[
\begin{align*}
2x + 3y &= 6 \\
2(x + y) &= 2(0) \\
\end{align*}
\]

Теперь первое уравнение остается без изменений, а второе уравнение примет вид:

\[
\begin{align*}
2x + 3y &= 6 \\
2x + 2y &= 0 \\
\end{align*}
\]

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от переменной x:

\[
(2x + 3y) - (2x + 2y) = 6 - 0
\]

\[
y = 6
\]

Теперь, чтобы найти значение x, подставим значение y = 6 в одно из исходных уравнений. Давайте возьмем уравнение x + y = 0:

\[
x + 6 = 0
\]

Отсюда получаем:

\[
x = -6
\]

Итак, точка пересечения линий имеет координаты (-6, 6).

Теперь, когда у нас есть точка пересечения, давайте найдем уравнения прямых, проходящих через эту точку.

Первое уравнение имеет точку пересечения и наклонный коэффициент (наклон прямой) 2. Наклонный коэффициент можно найти, решив уравнение вида y = mx + b, где m - наклонный коэффициент. Подставим x = -6 и y = 6 в это уравнение:

\[
6 = 2(-6) + b
\]

\[
6 = -12 + b
\]

\[
b = 18
\]

Таким образом, первое уравнение прямой будет выглядеть как:

\[
y = 2x + 18
\]

Аналогично, чтобы найти второе уравнение прямой, мы можем использовать точку (-6, 6) и наклонный коэффициент 1 из уравнения x + y = 0:

\[
6 = 1(-6) + b
\]

\[
6 = -6 + b
\]

\[
b = 12
\]

Таким образом, второе уравнение прямой будет:

\[
y = x + 12
\]

Таким образом, ответ: прямая y = 2x + 18 и прямая y = x + 12 проходят через точки пересечения линий 2x + 3y = 6 и x + y = 0.