Какие пять натуральных чисел имеют сумму, равную их произведению?

Магнитный_Магнат

26

Эта задача относится к так называемым задачам на поиск аминимальных чисел. Давайте решим ее пошагово.

Пусть у нас есть пять натуральных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

Мы хотим найти такие числа, для которых сумма равна их произведению, то есть, чтобы выполнялось уравнение:
\[a + b + c + d + e = a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e.\]

Давайте рассмотрим все возможные случаи, начиная с самых маленьких чисел:

1. Если все числа равны 1, то уравнение превращается в \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\), что верно, так как обе части равны 5.

2. Если одно из чисел равно 1, а остальные числа равны 2, то уравнение становится \[1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2,\]
что также верно, так как обе части равны 9.

3. Если одно из чисел равно 1, а остальные числа равны 3, то уравнение имеет вид:
\[1 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.\]
Посчитав, мы получаем, что 13 равно 81, что не верно.

4. Если одно из чисел равно 1, а остальные числа равны 4, то уравнение имеет вид:
\[1 + 4 + 4 + 4 + 4 = 1 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4.\]
Посчитав, мы получаем, что 17 равно 256, что тоже не верно.

5. Если одно из чисел равно 1, а остальные числа равны 5, то уравнение имеет вид:
\[1 + 5 + 5 + 5 + 5 = 1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5.\]
Посчитав, мы получаем, что 21 равно 625, что также является неверным.

6. Если все пять чисел равны 2, то уравнение превращается в
\[2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2.\]
Слева имеем 10, справа 32, что снова не верно.

7. Если все пять чисел равны 3, то уравнение имеет вид
\[3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3,\]
что также неверно, так как слева имеем 15, а справа 243.

8. Если все пять чисел равны 4, то уравнение становится
\[4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4,\]
что также не верно, так как слева имеем 20, а справа 1024.

9. Если все пять чисел равны 5, то уравнение превращается в
\[5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5,\]
что также неверно, так как слева имеем 25, а справа 3125.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и не нашли такие натуральные числа, для которых их сумма равна их произведению. Ответ на задачу: натуральных чисел, удовлетворяющих условию, не существует.