Какие равенства можно использовать для доказательства тождества sin2z=(sinz+cosz)/2?

Daniil

34

Для доказательства тождества \(\sin^2 z = \frac{{\sin z + \cos z}}{2}\), мы можем использовать следующие равенства и свойства тригонометрических функций:

1. Равенство суммы углов: \(\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B\).
2. Равенство косинуса суммы углов: \(\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B\).
3. Равенство синуса квадрата: \(\sin^2 z = \frac{{1 - \cos(2z)}}{2}\).
4. Равенство косинуса квадрата: \(\cos^2 z = \frac{{1 + \cos(2z)}}{2}\).

Давайте начнем с равенства синуса квадрата, которое заменит одну из переменных в исходном тождестве:

\[\sin^2 z = \frac{{1 - \cos(2z)}}{2}\]

Теперь мы хотим выразить \(\cos z\) в терминах \(\sin z\), чтобы заменить его в исходном тождестве. Для этого воспользуемся равенством косинуса квадрата:

\(\cos^2 z = \frac{{1 + \cos(2z)}}{2}\)

Выразим \(\cos(2z)\) и подставим это значение в исходное тождество:

\(\cos(2z) = 2\cos^2 z - 1\)

\(\sin^2 z = \frac{{1 - (2\cos^2 z - 1)}}{2}\)

Упростим и приведем подобные слагаемые:

\(\sin^2 z = \frac{{1 - 2\cos^2 z + 1}}{2}\)

\(\sin^2 z = \frac{{2 - 2\cos^2 z}}{2}\)

\(\sin^2 z = \frac{{2(1 - \cos^2 z)}}{2}\)

Мы знаем, что \(\sin^2 z + \cos^2 z = 1\), поэтому можем заменить \((1 - \cos^2 z)\) на \(\sin^2 z\):

\(\sin^2 z = \frac{{2\sin^2 z}}{2}\)

Теперь сократим общий множитель:

\(\sin^2 z = \sin^2 z\)

Таким образом, мы доказали, что исходное тождество \(\sin^2 z = \frac{{\sin z + \cos z}}{2}\) верно при любых значениях \(z\).