Какие размеры должен иметь закрытый цилиндрический бак, чтобы использовалось наименьшее количество материала

Yakorica

17

Чтобы найти размеры цилиндрического бака, используя наименьшее количество материала при его изготовлении, мы должны определить значения радиуса и высоты бака. Объем цилиндра можно выразить формулой:

\[ V = \pi r^{2} h \]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - математическая константа (приближенное значение 3.14159), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Дано, что объем составляет \(65,536\pi\). Подставим это значение в уравнение объема и продолжим решение:

\[ 65,536\pi = \pi r^{2} h \]

Упростим уравнение, сократив \(\pi\) со всех частей:

\[ 65,536 = r^{2} h \]

Теперь, чтобы найти наименьшее количество материала, мы можем воспользоваться следующим свойством цилиндра: площадь боковой поверхности (означим ее \(S_1\)) составляет:

\[ S_1 = 2\pi rh \]

А площадь оснований (означим ее \(S_2\)) равна:

\[ S_2 = 2\pi r^{2} \]

Общая площадь поверхности (означим ее \(S_{\text{пов}}\)) равна сумме площадей боковой поверхности и оснований:

\[ S_{\text{пов}} = S_1 + S_2 = 2\pi rh + 2\pi r^{2} \]

Так как нам нужно минимизировать количество материала, следует минимизировать общую площадь поверхности. Для этого продолжим решение:

Используя факторизацию, получим:

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r(h + r) \]

Теперь мы можем записать объем цилиндра в более удобной форме:

\[ 65,536 = r^{2} h \]

и общую площадь поверхности:

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r(h + r) \]

Осталось найти значения \(r\) и \(h\), при которых будет достигаться минимальное значение общей площади поверхности. Для этого мы можем использовать метод дифференциального исчисления, а именно минимизацию функции одной переменной.

Мы можем производить отдельные рассуждения по переменным \(r\) и \(h\), но здесь мы воспользуемся уравнением объема для интересующей нас переменной \(h\) и запишем его:

\[ h = \frac{65,536}{r^{2}} \]

Теперь подставим это значение в уравнение для площади поверхности:

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r \left(\frac{65,536}{r^{2}} + r\right) \]

Упростим это уравнение:

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r \left(\frac{65,536 + r^{3}}{r^{2}}\right) \]

Умножим и разделим числитель дроби на \(r\):

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r \left(\frac{65,536}{r^{2}} + \frac{r^{3}}{r^{2}}\right) \]

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r \left(\frac{65,536}{r^{2}} + r\right) \]

\[ S_{\text{пов}} = 2\pi r(h + r) \]

Таким образом, мы получили ту же формулу для общей площади поверхности, что и ранее. Это означает, что при данном условии объема, наименьшее количество материала будет использовано, когда \(h + r\) будет минимально.

Таким образом, размеры цилиндрического бака, при которых будет использоваться наименьшее количество материала при его изготовлении и его объем будет составлять \(65,536\pi\), будут такими, что сумма высоты \(h\) и радиуса основания \(r\) будет минимальна. Решением задачи является: найдите значения \(h\) и \(r\), при которых сумма \(h + r\) минимальна.