Какие существуют тройки действительных чисел, которые являются решениями данной системы уравнений: x^2+y+z=1 x+y^2+z=1

Скворец

56

Для начала рассмотрим каждое уравнение системы по отдельности:

1) Уравнение 1: \(x^2 + y + z = 1\)
2) Уравнение 2: \(x + y^2 + z = 1\)
3) Уравнение 3: \(x + y + z^2 = 1\)

Мы хотим найти значения \(x, y\) и \(z\), удовлетворяющие всем трём уравнениям одновременно.

Заметим, что каждое уравнение содержит одинаковое выражение \(x + y + z = 1\), которое встречается в левой части каждого уравнения. Назовем это уравнение 4: \(x + y + z = 1\).

Теперь, чтобы найти возможные решения системы, вычтем уравнение 4 из каждого из первых трёх уравнений:

1) \(x^2 + y + z - (x + y + z) = 1 - 1\), что приводит к \(x^2 - x = 0\)
2) \(x + y^2 + z - (x + y + z) = 1 - 1\), что приводит к \(y^2 - y = 0\)
3) \(x + y + z^2 - (x + y + z) = 1 - 1\), что приводит к \(z^2 - z = 0\)

Теперь рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1) \(x^2 - x = 0\)

Для того чтобы решить данное уравнение, можно факторизовать его:

\(x(x - 1) = 0\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\).

2) \(y^2 - y = 0\)

Здесь также можно факторизовать уравнение:

\(y(y - 1) = 0\)

Значения для \(y\) будут: \(y = 0\) и \(y = 1\).

3) \(z^2 - z = 0\)

Факторизуем:

\(z(z - 1) = 0\)

Значения для \(z\) будут: \(z = 0\) и \(z = 1\).

Таким образом, мы получили четыре возможные тройки действительных чисел, которые являются решениями данной системы уравнений:

1) \(x = 0, y = 0, z = 0\)
2) \(x = 0, y = 0, z = 1\)
3) \(x = 1, y = 0, z = 0\)
4) \(x = 1, y = 1, z = 1\)

Надеюсь, данный подробный ответ поможет вам лучше понять решение задачи. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.