Какое количество целых чисел x удовлетворяют неравенству | 3x - 2 | > x + 4, если x принадлежит интервалу [-4

Raduga_Na_Nebe

57

Для решения данной задачи, мы можем использовать несколько подходов. Первый подход - это решить данное неравенство графически. Второй подход - это рассмотреть различные случаи значения \(x\) и найти интервалы, для которых неравенство выполняется.

1. Рассмотрим первый подход, графическое решение неравенства. Для этого нарисуем графики обеих частей неравенства на одной координатной плоскости.

Неравенство \(| 3x - 2 | > x + 4\) можно переписать в виде системы двух неравенств:
\[ \begin{cases} 3x - 2 > x + 4 \\ -(3x - 2) > x + 4 \end{cases} \]

Упростим каждое неравенство:
\[ \begin{cases} 2x > 6 \\ -3x + 2 > x + 4 \end{cases} \]

Решим первое неравенство:
\[ 2x > 6 \rightarrow x > 3 \]

Решим второе неравенство:
\[ -3x + 2 > x + 4 \rightarrow -4x > 2 \rightarrow x < -\frac{1}{2} \]

Теперь нарисуем графики обеих частей неравенства на координатной плоскости:

\[ \text{Graph 1: } y = |3x - 2| \]
\[ \text{Graph 2: } y = x + 4 \]

2. Рассмотрим второй подход, решение неравенства методом подстановки.

Возьмем несколько случаев для значения \(x\) и проверим, выполняется ли неравенство \(|3x - 2| > x + 4\) для каждого значения.

a) Если \(x < -4\), подставим \(x = -5\) в неравенство:
\[ |3(-5) - 2| > (-5) + 4 \]
\[ |-15 - 2| > -1 \]
\[ | -17| > -1 \]
\[ 17 > -1 \]
Неравенство выполняется.

b) Если \(-4 \leq x \leq 3\), подставим \(x = 0\) в неравенство:
\[ |3(0) - 2| > (0) + 4 \]
\[ |-2| > 4 \]
\[ 2 > 4 \]
Неравенство не выполняется.

c) Если \(x > 3\), подставим \(x = 4\) в неравенство:
\[ |3(4) - 2| > (4) + 4 \]
\[ |12 - 2| > 8 \]
\[ |10| > 8 \]
\[ 10 > 8 \]
Неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является объединение интервалов, где неравенство выполняется:
\[ x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty) \]

Перечислим все целые числа в указанных интервалах:
-5, -4, 4, 5, 6, ...

Таким образом, количество целых чисел \(x\), которые удовлетворяют данному неравенству, бесконечно много.