Какие свойства будут у функции y=2^x и как можно изобразить ее на графике?

Zvezdnaya_Tayna_810

9

Функция \(y = 2^x\) является экспоненциальной функцией.

Свойства функции \(y = 2^x\):

1. Область определения: Функция \(y = 2^x\) определена для всех действительных значений \(x\). То есть, любое действительное число может быть подставлено вместо \(x\) в эту функцию.

2. Область значений: Функция \(y = 2^x\) имеет положительные значения. Значение функции будет положительным, независимо от значения \(x\).

3. Увеличение и убывание функции: Функция \(y = 2^x\) является возрастающей функцией. Это означает, что при увеличении значения \(x\) значение функции также увеличивается.

4. Асимптота: Функция \(y = 2^x\) не имеет никаких горизонтальных или вертикальных асимптот. Она не имеет ограничений по \(y\) или \(x\), и ее график может растягиваться в бесконечность в обоих направлениях.

Теперь рассмотрим, как можно изобразить функцию \(y = 2^x\) на графике:

1. Выберите некоторые значения для \(x\) (например, -2, -1, 0, 1, 2) и вычислите соответствующие значения \(y\) для каждого из них, используя функцию \(y = 2^x\). Например:
\[
\begin{align*}
x=-2: \quad y&=2^{-2}=0.25 \\
x=-1: \quad y&=2^{-1}=0.5 \\
x=0: \quad y&=2^{0}=1 \\
x=1: \quad y&=2^{1}=2 \\
x=2: \quad y&=2^{2}=4 \\
\end{align*}
\]

2. Используя полученные значения, постройте точки на координатной плоскости. Например:
\[
(-2, 0.25), (-1, 0.5), (0, 1), (1, 2), (2, 4)
\]

3. Соедините все точки гладкой кривой. График функции \(y = 2^x\) будет иметь вид возрастающей экспоненты, проходящей через эти точки.

Графическое представление функции \(y = 2^x\) выглядит следующим образом:

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-3, xmax=3,
ymin=0, ymax=5,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={0,1,2,3,4},
legend pos=south east,
grid=both,
minor tick num=1,
width=10cm,
height=7cm
]
\addplot[
color=blue,
domain=-2.5:2.5,
samples=100
]
{2^x};
\addlegendentry{$y = 2^x$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

На данном графике ось \(x\) представляет собой горизонтальную ось, а ось \(y\) - вертикальную. График функции \(y = 2^x\) проходит через точки \((-2, 0.25)\), \((-1, 0.5)\), \((0, 1)\), \((1, 2)\) и \((2, 4)\), и растет экспоненциально при увеличении значения \(x\).

Надеюсь, этот ответ полностью объясняет свойства функции \(y = 2^x\) и предоставляет ясное представление, как можно ее изобразить на графике. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.