Каково расстояние между точками пересечения графика функции y=2x^2/x^2+4 и прямой?

Золотой_Лорд

15

Чтобы найти расстояние между графиком функции \(y = \frac{{2x^2}}{{x^2 + 4}}\) и прямой, нам нужно сначала найти точки их пересечения. Затем мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками для определения расстояния между ними.

Начнем с нахождения точек пересечения графика функции и прямой. Чтобы это сделать, приравняем уравнения функции и прямой друг к другу:

\[\frac{{2x^2}}{{x^2 + 4}} = mx + b\]

Здесь \(m\) - это коэффициент наклона прямой, а \(b\) - это ее y-пересечение.

Приведем это уравнение к общему виду:

\[2x^2 = (mx + b)(x^2 + 4)\]

Раскроем скобки:

\[2x^2 = mx^3 + 4mx + bx^2 + 4b\]

Приравняем все коэффициенты к нулю:

\[mx^3 + (b-2)x^2 + 4mx + (4b-2x^2) = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение для \(x\), используя уравнение кубического ядра или метод подстановки, чтобы найти точки пересечения. Я вижу, что использование метода подстановки будет более простым в данном случае, поэтому продолжим так.

Предположим, что \(x = A\) является одной из точек пересечения. Подставим это значение в исходное уравнение:

\[\frac{{2A^2}}{{A^2 + 4}} = mA + b\]

Приравняем числитель и знаменатель к нулю:

\[2A^2 = (mA + b)(A^2 + 4)\]

Раскроем скобки:

\[2A^2 = mA^3 + 4mA + bA^2 + 4b\]

Соберем все коэффициенты вместе:

\[mA^3 + (b+A^2-2)A^2 + 4mA + (4b-2A^2) = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(A\). Решим его, чтобы найти значение \(A\) и, следовательно, одну из точек пересечения.

Повторим те же шаги, предполагая, что \(x = B\) является второй точкой пересечения, так что:

\[\frac{{2B^2}}{{B^2 + 4}} = mB + b\]

Решим полученное квадратное уравнение, чтобы найти вторую точку пересечения.

После нахождения обоих значений \(A\) и \(B\) мы сможем использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти искомое расстояние:

\[d = \sqrt{{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2}}\]

Где \(A_x\) и \(A_y\) - это координаты первой точки пересечения, а \(B_x\) и \(B_y\) - координаты второй точки пересечения.

Пожалуйста, учтите, что значения \(A\) и \(B\) могут быть сложными числами или иметь много знаков после запятой, и, чтобы получить окончательный ответ, необходимо округлить его до определенного количества знаков после запятой. Когда вы найдете точки пересечения и расстояние, пожалуйста, приведите их в ответе, а я помогу вам с дальнейшими шагами, если это необходимо.