Как решить данную систему квадратных неравенств: {x²+x-30≤0{x²-x-20≥0

Rak_8958

45

Чтобы решить эту систему квадратных неравенств, нам необходимо проанализировать каждое неравенство по отдельности, а затем найти и объединить их общее решение.

Начнем с первого неравенства: \(x^2 + x - 30 \leq 0\). Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся методом факторизации или решением квадратного трехчлена.

Проанализируем уравнение \(x^2 + x - 30 = 0\). Мы должны найти два числа, сумма и произведение которых равны соответственно коэффициентам при \(x\) и свободному члену. Здесь сумма коэффициентов равна 1, а произведение равно -30.

Выбираем два числа, которые удовлетворяют этому условию. Например, 6 и -5:

\(6 + (-5) = 1\) и \(6 \cdot (-5) = -30\).

Теперь мы можем разложить квадратное уравнение следующим образом:

\[x^2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(x\):

\(x + 6 = 0\) или \(x - 5 = 0\)

\(x_1 = -6\) или \(x_2 = 5\)

Теперь, чтобы найти, когда \(x^2 + x - 30 \leq 0\), мы должны определить, когда выражение находится в пределах или ниже оси \(x\). Для этого мы строим знакопеременность и проверяем значения внутри и снаружи каждого интервала.

Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & x^2 + x - 30 & \text{Знак выражения} \\
\hline
(-\infty, -6) & (-)(-)(-) & - \\
\hline
(-6, 5) & (-)(+)(-) & + \\
\hline
(5, +\infty) & (+)(+)(+) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что выражение \(x^2 + x - 30\) отрицательно в интервале \((-6, 5)\).

Далее переходим ко второму неравенству: \(x^2 - x - 20 \geq 0\). Здесь также решим его как квадратное уравнение.

Анализируем уравнение \(x^2 - x - 20 = 0\). Снова мы ищем два числа, сумма и произведение которых равны -1 и -20 соответственно. Например, -5 и 4:

\(-5 + 4= -1\) и \(-5 \cdot 4 = -20\).

Разложим уравнение:

\[x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4) = 0\]

Получаем два возможных значения \(x\):

\(x - 5 = 0\) или \(x + 4 = 0\)

\(x_3 = 5\) или \(x_4 = -4\)

Теперь определим, когда \(x^2 - x - 20 \geq 0\), т.е. когда выражение находится выше или на оси \(x\). Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & x^2 - x - 20 & \text{Знак выражения} \\
\hline
(-\infty, -4) & (+)(-)(-) & - \\
\hline
(-4, 5) & (+)(-)(+) & + \\
\hline
(5, +\infty) & (+)(+)(+) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Видим, что выражение \(x^2 - x - 20\) выше нуля в интервалах \((-4, 5)\).

Наконец, объединим оба неравенства, чтобы найти общее решение системы:

\((-6 \leq x \leq 5)\) и \((-4 < x < 5)\)

Таким образом, решение данной системы квадратных неравенств можно записать как \(-6 \leq x < 5\) или \([-6, 5)\).