Определите все значения параметра а, при которых неравенство (а+2)х> -а-5 выполняется при всех значениях х из интервала

Веселый_Смех

25

Для начала, давайте разберемся с самим неравенством. Нам дано неравенство \((a+2)x > -a-5\) и нам нужно найти все значения параметра \(a\), при которых это неравенство выполняется для всех значений \(x\) из интервала \((-3;1)\).

Давайте пошагово решим это неравенство:

1. Распределим \(x\) по обеим сторонам неравенства: \((a+2)x + ax > -a-5 + ax\).
2. Объединим подобные слагаемые: \(ax + (a+2)x > -a-5\).
3. Раскроем скобки: \(ax + ax + 2x > -a-5\).
4. Сложим подобные слагаемые: \(2ax + 2x > -a-5\).
5. Факторизуем выражение: \(2x(a+1) > -a-5\).

Дальше разделим обе части неравенства на \(2(a+1)\):

\[\frac{{2x(a+1)}}{{2(a+1)}} > \frac{{-a-5}}{{2(a+1)}}\].

Упростим это:

\[x > \frac{{-a-5}}{{2(a+1)}}\].

Теперь нам нужно понять, при каких значениях параметра \(a\) это неравенство будет выполняться для всех значений \(x\) из интервала \((-3;1)\).

Для этого возьмем минимальное значение \(x\) из интервала \((-3;1)\), то есть \(x = -3\). Подставим его в неравенство:

\[-3 > \frac{{-a-5}}{{2(a+1)}}\].

Упростим правую часть:

\[-3 > \frac{{-a-5}}{{2a+2}}\].

Теперь возьмем максимальное значение \(x\) из интервала \((-3;1)\), то есть \(x = 1\). Подставим его в неравенство:

\[1 > \frac{{-a-5}}{{2(a+1)}}\].

Упростим правую часть:

\[1 > \frac{{-a-5}}{{2a+2}}\].

Теперь у нас есть два неравенства:

\[-3 > \frac{{-a-5}}{{2a+2}}\] и \(1 > \frac{{-a-5}}{{2a+2}}\).

Давайте решим первое неравенство:

\[-3 > \frac{{-a-5}}{{2a+2}}\].

Умножим обе части на \((2a+2)\):

\[-3(2a+2) > -a-5\].

Раскроем скобки:

\[-6a - 6 > -a-5\].

Теперь объединяем подобные слагаемые:

\[-6a + a > -5 + 6\].

\[-5a > 1\].

Умножаем обе части на -1 (меняем знаки):

\[5a < -1\].

Получается, что \(a < -\frac{1}{5}\). Таким образом, для значений параметра \(a\) меньше \(-\frac{1}{5}\), первое неравенство выполняется.

Теперь давайте решим второе неравенство:

\[1 > \frac{{-a-5}}{{2a+2}}\].

Умножим обе части на \((2a+2)\):

\[1(2a+2) > -a-5\].

Раскроем скобки:

\[2a + 2 > -a-5\].

Объединим подобные слагаемые:

\[2a + a > -5 - 2\].

\[3a > -7\].

Получается, что \(a > -\frac{7}{3}\). Таким образом, для значений параметра \(a\) больше \(-\frac{7}{3}\), второе неравенство также выполняется.

Таким образом, значения параметра \(a\), для которых неравенство \((a+2)x > -a-5\) выполняется для всех значений \(x\) из интервала \((-3;1)\), будут:

\[a < -\frac{1}{5}\] и \(a > -\frac{7}{3}\).

Надеюсь, это решение помогло вам разобраться с задачей.