Какие точки на графике функции f(x)=x^3-3x^2 имеют касательные, параллельные оси абсцисс?

Strekoza_546

5

Чтобы найти точки на графике функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\), где касательные параллельны оси абсцисс, мы должны найти значения \(x\), для которых \(f"(x) = 0\). Здесь \(f"(x)\) обозначает производную функции \(f(x)\).

Для начала найдем производную функции \(f(x)\). Для этого возьмем каждый член функции и возьмем его производную. В данном случае:

\[f(x) = x^3 - 3x^2\]

Взятие производной каждого члена дает нам:

\[f"(x) = 3x^2 - 6x\]

Затем приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим получившееся уравнение:

\[3x^2 - 6x = 0\]

Мы можем привести это уравнение в более простую форму и решить его:

\[3x(x - 2) = 0\]

Из этого уравнения видно, что две точки на графике функции \(f(x)\), где касательные параллельны оси абсцисс, являются \(x = 0\) и \(x = 2\).

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\), мы подставляем эти значения \(x\) обратно в функцию \(f(x)\). Для \(x = 0\):

\[f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\]

Для \(x = 2\):

\[f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 2\]

Таким образом, точка на графике функции \(f(x)\), где касательная параллельна оси абсцисс, является \((0,0)\), а также точка \((2,2)\).