Как найти общий вид первообразной для функции f(x) = 2x² + 3/x⁴ + √x

Игоревна

15

Хорошо, давайте решим задачу. Мы ищем общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x}\). Чтобы найти первообразную, мы будем использовать методы дифференциального исчисления.

Шаг 1: Раскроем скобки и упростим выражение:
\[f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x}\]
Для начала возведём квадрат в каждом слагаемом:
\[f(x) = 2x^2 + 3x^{-4} + x^{1/2}\]

Шаг 2: Найдём производные слагаемых по отдельности.
\[\frac{d}{dx} (2x^2) = 4x\]
\[\frac{d}{dx} (3x^{-4}) = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5}\]
\[\frac{d}{dx} (x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Шаг 3: Найдём первообразные слагаемых. Чтобы найти первообразную для каждого слагаемого, мы должны взять производную исходного слагаемого и интегрировать его по переменной \(x\).
\[\int 4x \, dx = 2x^2 + C_1\]
\[\int \left(-\frac{12}{x^5}\right) \, dx = \frac{12}{4x^4} + C_2 = \frac{3}{x^4} + C_2\]
\[\int \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} \, dx = \sqrt{x} + C_3\]

где \(C_1, C_2\) и \(C_3\) - произвольные постоянные.

Шаг 4: Сложим найденные первообразные и добавим постоянную.
Общая первообразная для функции \(f(x)\) будет равна:
\[F(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x} + C\]
где \(C = C_1 + C_2 + C_3\) - произвольная постоянная.

Это и есть общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x}\).