Какие три слагаемых являются первыми в биномиальном разложении при возрастании степени z? И какой коэффициент будет

Pizhon

12

Чтобы решить задачу о биномиальном разложении при возрастании степени \(z\), нам понадобится использовать формулу разложения для бинома Ньютона, также известную как биномиальная теорема.

Биномиальное разложение имеет следующий вид:

\[(a + b)^n = C_{n}^{0}a^n b^0 + C_{n}^{1}a^{n-1} b^1 + C_{n}^{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + C_{n}^{n-2}a^2 b^{n-2} + C_{n}^{n-1}a^1 b^{n-1} + C_{n}^{n}a^0 b^n\]

где \(C_{n}^{k}\) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n!\) - это факториал числа \(n\), равный произведению всех чисел от 1 до \(n\).

В нашем случае, нам нужно найти первые три слагаемых в биномиальном разложении. То есть, нам нужно определить значения и коэффициенты для 0-ой, 1-ой и 2-ой степеней \(z\).

Начнем с 0-ой степени \(z\), то есть \(z^0 = 1\). Также, биномиальный коэффициент \(C_{n}^{0}\) всегда равен 1, поэтому первое слагаемое равно \(1 \cdot a^n \cdot b^0 = a^n\).

Перейдем ко второму слагаемому, которое будет содержать первую степень \(z\). Для этого нам потребуется использовать биномиальный коэффициент \(C_{n}^{1}\), который равен \(\frac{n!}{1!(n-1)!} = n\). Таким образом, второе слагаемое будет равно \(n \cdot a^{n-1} \cdot b^1\).

Наконец, для третьего слагаемого нам понадобится биномиальный коэффициент \(C_{n}^{2}\), который равен \(\frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1)}{2}\). Соответственно, третье слагаемое выглядит так: \(\frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2\).

В итоге, первые три слагаемых в биномиальном разложении будут:

1. \(a^n\)
2. \(n \cdot a^{n-1} \cdot b^1\)
3. \(\frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2\)

Обратите внимание, что в ответах указаны только слагаемые, без промежуточных шагов и вычислений. Уверены, что получили все необходимые сведения.