Когда функция y=4x3−12x возрастает на интервале от [2s−6; 10s+10], какие значения параметра s принимает?

Mariya

66

Для того чтобы определить значения параметра s, при которых функция y = 4x^3 - 12x возрастает на указанном интервале [2s - 6; 10s + 10], нам необходимо проанализировать производную этой функции.

Шаг 1: Рассчитаем производную функции y по переменной x.
Для этого применим правило дифференцирования для многочлена. Каждый член функции будет дифференцироваться по отдельности.

y" = (4x^3 - 12x)" = (4x^3)" - (12x)"

Шаг 2: Вычислим производную каждого члена по отдельности.
Производная члена 4x^3:

(4x^3)" = 3 * 4 * x^(3 - 1) = 12x^2

Производная члена -12x:

(-12x)" = -12

Шаг 3: Суммируем производные членов функции.

y" = 12x^2 - 12

Шаг 4: Найдем точки, где производная функции равна нулю. Подставим y" = 0 и решим уравнение.

12x^2 - 12 = 0

Для решения этого уравнения, применим факторизацию наибольшего общего делителя (12):

12(x^2 - 1) = 0

Теперь, разделим обе части на 12:

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два решения уравнения: x = 1 и x = -1.

Шаг 5: Определим значения параметра s.

Интервал задан в виде [2s - 6; 10s + 10]. Функция возрастает на данном интервале, когда производная функции положительна.

Таким образом, нам необходимо найти такие значения параметра s, при которых x = 1 или x = -1 лежат внутри интервала [2s - 6; 10s + 10].

1) Для x = 1:

2s - 6 ≤ 1 ≤ 10s + 10

2s - 6 ≤ 1 (1 ≤ 10s + 10)

2s ≤ 7 (1 ≤ 10s)

s ≤ 3,5 (1 ≤ s)

2) Для x = -1:

2s - 6 ≤ -1 ≤ 10s + 10

2s - 6 ≤ -1 (-1 ≤ 10s + 10)

2s ≤ 5 (-1 ≤ 10s)

s ≤ 2,5 (-0,1 ≤ s)

Итак, значения параметра s принимают значения от -0,1 до 3,5, чтобы функция y = 4x^3 - 12x возрастала на интервале [2s - 6; 10s + 10].