Какие углы падения и преломления, если луч света направлен из воздуха в стекло (n=1,5) и угол между отраженным

Анатолий

39

Для решения данной задачи, нам понадобятся законы преломления света и геометрия треугольника.

Закон преломления света, известный также как закон Снеллиуса, гласит следующее:
\[
\frac{{\sin(\text{{угол падения}})}}{{\sin(\text{{угол преломления}})}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

Где угол падения - это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности раздела сред, угол преломления - угол между преломленным лучом и нормалью к поверхности раздела сред, а \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления сред, из которых идет и происходит преломление света.

В данной задаче, луч света проходит из воздуха в стекло. Показатель преломления воздуха примерно равен 1, а показатель преломления стекла равен 1,5. Из условия задачи известно, что угол между отраженным и преломленным лучами равен 90 градусов.

Пусть \(\theta_1\) - угол падения, а \(\theta_2\) - угол преломления.

Так как угол между отраженным и преломленным лучами равен 90 градусов, то можно записать следующее соотношение:
\[
\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ
\]

С помощью закона преломления света можно выразить \(\theta_2\) через \(\theta_1\):
\[
\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

Подставим известные значения показателей преломления:
\[
\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{1,5}}{{1}}
\]

Теперь организуем систему уравнений, состоящую из выражений для \(\theta_1 + \theta_2\) и \(\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}}\):
\[
\begin{cases}
\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ \\
\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = 1,5
\end{cases}
\]

Решив данную систему уравнений, мы найдем значения углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\), которые соответствуют заданной задаче.

Шаг 1: Выразим одну переменную из одного уравнения и подставим в другое:
\(\theta_1 = 90^\circ - \theta_2\)

\(\frac{{\sin(90^\circ - \theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = 1,5\)

Шаг 2: Применим тригонометрическое тождество синуса разности углов:
\(\frac{{\sin(90^\circ)\cos(\theta_2) - \cos(90^\circ)\sin(\theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = 1,5\)

Шаг 3: Упростим выражение, зная, что \(\sin(90^\circ) = 1\) и \(\cos(90^\circ) = 0\):
\(\frac{{1\cdot\cos(\theta_2) - 0\cdot\sin(\theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = 1,5\)

Шаг 4: Упростим еще более:
\(\frac{{\cos(\theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = 1,5\)

Шаг 5: Применим определение тангенса:
\(\tan(\theta_2) = \frac{{\cos(\theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}}\)

Шаг 6: Подставим определение тангенса в предыдущее уравнение:
\(\tan(\theta_2) = 1,5\)

Шаг 7: Найдем угол \(\theta_2\) с помощью арктангенса:
\(\theta_2 = \arctan(1,5)\)

\(\theta_2 \approx 56,31^\circ\)

Шаг 8: Найдем угол \(\theta_1\) с помощью \(\theta_2 = 90^\circ - \theta_1\):
\(\theta_1 = 90^\circ - \theta_2\)

\(\theta_1 = 90^\circ - 56,31^\circ\)

\(\theta_1 \approx 33,69^\circ\)

Итак, угол падения \(\theta_1\) равен примерно 33,69 градусов, а угол преломления \(\theta_2\) равен примерно 56,31 градусов, для луча света, направленного из воздуха в стекло при условии, что угол между отраженным и преломленными лучами равен 90 градусов.