Какие уравнения определяют окружность, которая проходит через точку А(-5,6) и B(-1,4) и имеет диаметром хорду

Барбос

26

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через две заданные точки и имеющей заданную хорду в качестве диаметра, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите середину отрезка, соединяющего точки A и B. Это будет центр окружности. Для нахождения середины отрезка воспользуемся формулами:
\(x_c = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\)
\(y_c = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Где:
\(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки A,
\(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки B,
\(x_c\) и \(y_c\) - координаты центра окружности.

Подставим значения:
\(x_c = \frac{{-5 + (-1)}}{2} = -3\)
\(y_c = \frac{{6 + 4}}{2} = 5\)

Таким образом, центр окружности будет иметь координаты (-3,5).

2. Найдите радиус окружности. Радиус можно найти, используя половину длины заданной хорды. В данном случае, хорда AB является диаметром окружности, поэтому мы можем найти длину хорды как расстояние между точками A и B, и поделить ее пополам:
\(r = \frac{{AB}}{2}\)

Где:
\(AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\) - расстояние между точками A и B,
\(r\) - радиус окружности.

Подставим значения:
\(AB = \sqrt{{(-1 - (-5))^2 + (4 - 6)^2}} = \sqrt{{16 + 4}} = \sqrt{{20}}\)
\(r = \frac{{\sqrt{{20}}}}{2} = \frac{{2\sqrt{{5}}}}{2} = \sqrt{{5}}\)

Таким образом, радиус окружности будет равен \(\sqrt{{5}}\).

3. Окончательно, мы можем записать уравнение окружности, используя координаты центра и радиус:
\((x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2\)

Подставим значения:
\((x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{{5}})^2\)
\((x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 5\)

Таким образом, уравнение окружности будет \((x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 5\).

Теперь вы знаете уравнение окружности, проходящей через точки A (-5,6) и B(-1,4) и имеющей хорду AB в качестве диаметра: \((x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 5\).