Какие условия нужно задать для операции на множестве Х, чтобы: а) она стала алгебраической? б) она перестала быть

Yaponec_4032

12

Чтобы операция на множестве Х стала алгебраической, необходимо и достаточно, чтобы выполнены были следующие условия:

а) Замкнутость: Для любых элементов \(x\) и \(y\) из множества \(X\), результат операции также должен быть элементом этого же множества. Другими словами, если \(x\) и \(y\) принадлежат \(X\), то и \(x \circ y\) также должно принадлежать \(X\). Это условие гарантирует, что операция не "вылетает" из множества и остается внутри него.

б) Ассоциативность: Для любых элементов \(x\), \(y\) и \(z\) из множества \(X\), результат операции должен быть одинаковым, независимо от порядка выполнения операций. Формально это выглядит следующим образом: \((x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)\). Ассоциативность позволяет изменять порядок выполнения операций без изменения результата.

в) Наличие единичного элемента: В множестве \(X\) должен существовать такой элемент \(e\), что для любого \(x\) из \(X\) выполнено равенство \(e \circ x = x \circ e = x\). Этот элемент является "нейтральным" по отношению к операции, так как он не меняет значение других элементов.

г) Наличие обратных элементов: Для любого элемента \(x\) из множества \(X\) должен существовать элемент \(y\) такой, что \(x \circ y = y \circ x = e\), где \(e\) - единичный элемент, удовлетворяющий предыдущему условию. Такой элемент \(y\) называется обратным к \(x\) и обозначается \(x^{-1}\).

Таким образом, чтобы операция на множестве \(X\) перестала быть алгебраической, нужно нарушить хотя бы одно из условий, описанных выше. Например, можно либо допустить, чтобы операция не была замкнутой (т.е., результат может оказаться вне множества), либо не выполнить ассоциативность (порядок выполнения операций становится важным), либо отсутствие единичного элемента или обратных элементов.