Какие векторы даны в параллелепипеде, выходящем из одной вершины, и проведены ли все его диагонали?

Dmitrievna

38

Векторы, заданные в параллелепипеде, выходящем из одной вершины, образуют ребра этого параллелепипеда. Диагонали параллелепипеда - это отрезки, соединяющие две противоположные вершины.

Давайте рассмотрим случай параллелепипеда, заданного в трехмерном пространстве. Пусть даны три вектора: \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), которые образуют ребра параллелепипеда, выходящего из одной вершины. Чтобы узнать, являются ли проведены все диагонали этого параллелепипеда, нам необходимо проверить, есть ли векторы \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) и \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\) в данном наборе.

Обоснуем это. Параллелепипед имеет шесть граней, и каждая из них может быть задана двумя векторами. Таким образом, все ребра исходного параллелепипеда образуются из комбинаций трех данных векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), выходящих из одной вершины.

Для проверки, проведены ли все диагонали, мы строим возможные комбинации суммы и вычитания данных векторов. Если комбинация \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) находится в оригинальном наборе векторов, а комбинация \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\) также входит в список, то это означает, что все диагонали параллелепипеда проведены.

Для рассматриваемого случая, если вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) задают ребра параллелепипеда, то векторы \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) и \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\) задают его диагонали.

Таким образом, все диагонали данного параллелепипеда проведены, если векторы \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) и \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\) также присутствуют в заданном наборе векторов.

Вам может быть интересно знать, что в общем случае количество диагоналей в параллелепипеде равно 4. Они соединяют вершины, не являющиеся соседними, и проходят через его центр.