В конусе, полученном вращением прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 вокруг большего катета, определите

Solnechnyy_Sharm_7730

33

Конус, полученный вращением прямоугольного треугольника, называется прямым конусом. Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами прямого конуса.

а) Чтобы найти расстояние от центра основания до образующей конической поверхности, нам понадобится найти радиус конуса. Радиус конуса соединяет вершину конуса и центр его основания. Для нашей задачи радиус конуса будет равен половине большего катета прямоугольного треугольника.

Радиус конуса \(R = \frac{{\text{{больший катет}}}}{2} = \frac{8}{2} = 4\).

Теперь нам нужно найти образующую конической поверхности, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника. В нашем случае она равна:

Образующая конуса \(L = \sqrt{{\text{{катет}}_1^2 + \text{{катет}}_2^2}} = \sqrt{{6^2 + 8^2}} = \sqrt{{36 + 64}} = \sqrt{{100}} = 10\).

Теперь мы можем найти расстояние от центра основания до образующей конической поверхности. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, образующей и высотой конуса.

Расстояние от центра основания до образующей конической поверхности \(h = \sqrt{{L^2 - R^2}} = \sqrt{{10^2 - 4^2}} = \sqrt{{100 - 16}} = \sqrt{{84}} \approx 9.165\).

Ответ: Расстояние от центра основания до образующей конической поверхности примерно равно 9.165.

б) Чтобы найти площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от вершины на 2, мы можем воспользоваться подобием треугольников. Так как данное сечение параллельно основанию, оно будет прямоугольным треугольником, подобным исходному прямоугольному треугольнику.

Таким образом, отношение площадей подобных фигур равно квадрату соответствующих сторон.

Отношение площадей \(k = \left(\frac{{\text{{сторона первого сечения}}}}{{\text{{сторона исходного треугольника}}}}\right)^2 = \left(\frac{2}{8}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\).

Исходный треугольник имеет площадь \(S_1 = \frac{{\text{{катет}}_1 \cdot \text{{катет}}_2}}{2} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 24\).

Тогда площадь сечения будет \(S_2 = S_1 \cdot k = 24 \cdot \frac{1}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

Ответ: Площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от вершины на 2, равна \(\frac{3}{2}\).

в) Осевое сечение - это сечение, которое проходит через ось конуса и перпендикулярно основанию. Такое сечение будет кругом, и радиус этого круга будет равен радиусу основания конуса (половине большего катета прямоугольного треугольника).

Радиус осевого сечения \(R = \frac{{\text{{больший катет}}}}{2} = \frac{8}{2} = 4\).

Тогда площадь осевого сечения будет \(S = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi\).

Ответ: Площадь осевого сечения равна \(16\pi\).