Какие все возможные значения числа a, больше числа b, при которых на 23 больше НОД этих же чисел? Запишите все такие

Добрый_Убийца

16

b через запятую

Нам нужно найти все возможные значения числа a, при которых на 23 больше НОД (наибольший общий делитель) чисел a и b.

1. Начнем с общей формулы для НОД двух чисел: НОД(a, b). Пусть НОД(a, b) = d.

2. Зная это, мы можем записать a и b в виде их наименьших простых множителей:
a = p₁^x₁ * p₂^x₂ * ... * pₙ^xₙ,
b = p₁^y₁ * p₂^y₂ * ... * pₙ^yₙ,
где p₁, p₂, ..., pₙ - простые числа, а x₁, x₂, ..., xₙ и y₁, y₂, ..., yₙ - их степени.

3. Из условия задачи мы знаем, что:
НОД(a, b) + 23 = d + 23,
a > b.

4. Если a > b, то как минимум одна из степеней x должна быть больше соответствующей степени y.

5. Рассмотрим два случая:
- Если есть хотя бы одна степень x, которая больше соответствующей степени y, тогда мы можем увеличить a, добавив в него еще один простой множитель, например, p₁^{y₁ + 1}.
- Если все степени x равны соответствующим степеням y, тогда мы должны добавить еще один простой множитель, который еще не содержится в a и b. То есть добавить новый простой множитель, например, p_(n+1). В этом случае степени p_(n+1) можно выбирать любыми положительными числами.

6. Для каждого возможного простого числа p, увеличивая его степень или добавляя новый простой множитель, мы можем строить новые числа a и b. После этого мы проверяем условие a > b + 23. Если это условие выполняется, то такое значение a удовлетворяет условию задачи.

7. Повторяем шаги 5-6 для всех возможных простых чисел.

Приведем пример решения:

Пусть b = 10.
b = 2 * 5 = 2^1 * 5^1.

Теперь мы рассмотрим возможные значения a, увеличивая степени простых множителей или добавляя новые простые множители.

1) При увеличении степени простого числа 2 (p₁):
a = 2^2 * 5^1 = 20.
Условие a > b + 23 не выполняется, так как 20 ≤ 10 + 23.
Значит, a = 20 не подходит.

2) При увеличении степени простого числа 5 (p₂):
a = 2^1 * 5^2 = 50.
Условие a > b + 23 выполняется, так как 50 > 10 + 23.
Значит, a = 50 подходит.

3) При добавлении нового простого числа 7 (p₃):
a = 2^1 * 5^1 * 7^1 = 70.
Условие a > b + 23 выполняется, так как 70 > 10 + 23.
Значит, a = 70 подходит.

Таким образом, все возможные значения числа a, больше числа b, при которых на 23 больше НОД этих же чисел, равны 50 и 70.