Какие значения а приводят к тому, что уравнение |x-6|+a-6/ x^2-10x+a^2 =0 имеет два разных корня?

Ягненка_8872

39

Чтобы найти значения параметра а, при которых уравнение \(|x-6|+\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}=0\) имеет два различных корня, мы должны рассмотреть два возможных случая.

Первый случай: когда выражение \(x^2-10x+a^2\) не равно нулю. В этом случае, мы можем поделить оба выражения на \(x^2-10x+a^2\), сделав предположение, что \(x^2-10x+a^2 \neq 0\). Затем, сокращая общий множитель \(|x-6|\), уравнение примет вид:

\[|x-6| + \frac{a-6}{x^2-10x+a^2} = 0\]

Теперь рассмотрим значения \(x\), которые делают выражение \(|x-6|\) равным нулю. Модуль \(|x-6|\) равен нулю только в случае, когда \(x = 6\). Возвращаясь к уравнению, при \(x = 6\) у нас остается \(\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}\).

Поскольку \(\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}\) не равна нулю, чтобы уравнение имело два разных корня, значение \(\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}\) должно быть равно нулю при другом значении \(x\). Иными словами, нужно найти корни уравнения \(\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}=0\), отличные от \(x=6\).

Для того, чтобы \(\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}=0\), числитель \(a-6\) должен быть равен нулю, так как знаменатель \(x^2-10x+a^2\) не может быть равен нулю по предположению. Это означает, что \(a=6\).

Таким образом, при \(a=6\) уравнение будет иметь два разнообразных корня, если \(x \neq 6\).

Второй случай: когда \(x^2-10x+a^2 = 0\). В этом случае, знаменатель в уравнении обращается в ноль, что не допустимо. Таким образом, нет значений параметра а, при которых уравнение имеет два различных корня, когда \(x^2-10x+a^2 = 0\).

Итак, ответ: уравнение \(|x-6|+\frac{a-6}{x^2-10x+a^2}=0\) имеет два разных корня, если \(a = 6\) и \(x \neq 6\).