Какие значения длин катетов прямоугольного треугольника будут обеспечивать наибольшую площадь? Какие должны быть

Ястребка

63

Чтобы найти значения катетов прямоугольного треугольника, при которых площадь будет максимальной, мы можем использовать метод дифференцирования функции площади по катетам. Давайте выполним следующие шаги:

Пусть \(x\) и \(y\) - длины катетов прямоугольного треугольника.

Площадь \(S\) прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов:
\[S(x,y)=\frac{1}{2}xy.\]

Теперь мы можем найти производные этой функции по \(x\) и по \(y\) для определения точек экстремума:
\[\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{1}{2}y,\]
\[\frac{\partial S}{\partial y}=\frac{1}{2}x.\]

Чтобы найти критические точки, где производные равны нулю, мы приравниваем их к нулю:
\[\frac{1}{2}y=0 \Rightarrow y=0,\]
\[\frac{1}{2}x=0 \Rightarrow x=0.\]

Однако, эти значения не имеют смысла, так как нулевые катеты треугольника не образуют реального треугольника.

Теперь давайте рассмотрим граничные значения, которые могут быть применимы. Предположим, что длина катета \(y\) равна 0, а длина катета \(x\) может иметь любое положительное значение \(x > 0\). В этом случае, площадь треугольника будет равна 0, так как катет \(y\) равен 0.

Следовательно, для достижения максимальной площади прямоугольного треугольника, один из катетов должен равняться 0, а другой катет должен иметь наибольшее возможное значение. Таким образом, длина катета \(y\) должна быть равна 0 см, а длина катета \(x\) должна быть наибольшей возможной.

Максимальная площадь треугольника будет достигаться, когда катет \(y\) равен 0 см, а длина катета \(x\) будет максимальной. Вы выбрали катеты в порядке возрастания, поэтому значения катетов будут следующими: \(x\) см и 0 см.

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного треугольника будет 0, так как один из катетов равен 0.