Какие значения должны быть у константы с и плотности каждого компонента плотности совместного распределения

Yasli

42

Для решения этой задачи нам понадобится формула для плотности совместного распределения двух случайных величин \(X\) и \(Y\) в двумерном пространстве:

\[f_{XY}(x,y) = \begin{cases}
c & \text{при (x,y) внутри треугольника ABC} \\
0 & \text{при (x,y) вне треугольника ABC}
\end{cases}\]

где \(c\) - константа, \(ABC\) - треугольник с вершинами \(A(0,2)\), \(B(2,2)\) и \(C(8,0)\).

Чтобы найти значение константы \(c\), мы можем воспользоваться тем фактом, что плотность совместного распределения должна удовлетворять условию нормировки, то есть интеграл от плотности совместного распределения по всем возможным значениям должен быть равен 1.

Чтобы найти значения константы \(c\), мы можем вычислить интеграл от плотности совместного распределения по всей области, где плотность не равна нулю, то есть внутри треугольника \(ABC\). Для этого представим треугольник \(ABC\) как две треугольные области \(ABD\) и \(ACD\), где \(D\) - точка на оси \(X\) с координатами \(D(x,0)\), где \(0 \leq x \leq 2\). Тогда плотность совместного распределения внутри треугольника \(ABC\) можно представить в виде:

\[f_{XY}(x,y) = \begin{cases}
c & \text{при (x,y) в треугольнике ABD или в треугольнике ACD} \\
0 & \text{при (x,y) вне треугольника ABC}
\end{cases}\]

Для вычисления интеграла от плотности совместного распределения по всей области, где плотность не равна нулю, нам потребуется интегрировать плотность в каждой из треугольных областей \(ABD\) и \(ACD\). Чтобы упростить вычисления, мы можем воспользоваться треугольным законом и линейной функцией, чтобы представить плотность в каждой области в виде:

\[f_{XY}(x,y) = \begin{cases}
mx + b & \text{при (x,y) в треугольнике ABD} \\
-(mx + b) & \text{при (x,y) в треугольнике ACD} \\
0 & \text{при (x,y) вне треугольника ABC}
\end{cases}\]

где \(m\) и \(b\) - константы, значения которых мы должны найти.

Интегрируя плотность в треугольной области \(ABD\), мы должны получить значение, равное \(c\), поскольку плотность в этой области должна быть постоянной. Проведя интегрирование, мы получаем:

\[\int_{0}^{2} \int_{2}^{2x} mx + b \, dy \, dx = c\]
\[c = \int_{0}^{2} \left[ \frac{m}{2}x^2 + by \right]_{y=2}^{y=2x} \, dx\]
\[c = \int_{0}^{2} \left( \frac{m}{2}x^2 + b(2x - 2) \right) \, dx\]
\[c = \int_{0}^{2} \left( \frac{m}{2}x^2 + 2bx - 2b \right) \, dx\]
\[c = \left[ \frac{m}{6}x^3 + bx^2 - 2bx \right]_{x=0}^{x=2}\]

Теперь вычислим значение этого выражения для \(x=2\):

\[c = \left( \frac{m}{6}(2)^3 + b(2)^2 - 2b(2) \right) - \left( \frac{m}{6}(0)^3 + b(0)^2 - 2b(0) \right)\]
\[c = \left( \frac{8m}{6} + 4b - 4b \right) - \left(0 + 0 - 0\right)\]
\[c = \frac{8m}{6}\]

Таким образом, мы получили, что \(c = \frac{8m}{6}\).

Аналогично, проводя интегрирование в треугольной области \(ACD\), мы должны получить значение, равное \(-c\), поскольку плотность в этой области должна быть отрицательной. Однако, мы уже знаем, что \(c = \frac{8m}{6}\), поэтому мы можем записать:

\[-c = -\frac{8m}{6}\]

Таким образом, значениями констант \(c\) и \(m\) для треугольника \(ABC\) являются \(c = \frac{8m}{6}\) и \(m = -\frac{3c}{4}\).

Остается найти значение константы \(b\). Мы можем использовать информацию о точке \(B(2,2)\), через которую проходит сторона треугольника, чтобы найти значение \(b\).

Подставив \(x = 2\) и \(y = 2\) в плотность совместного распределения \(f_{XY}(x,y)\), можно записать:

\[2m + b = 0\]

поскольку плотность в точке \(B(2,2)\) должна быть равна нулю.

Подставив \(m = -\frac{3c}{4}\) и решив уравнение относительно \(b\), мы можем найти значение \(b\):

\[2\left(-\frac{3c}{4}\right) + b = 0\]
\[-\frac{6c}{4} + b = 0\]
\[-\frac{3c}{2} + b = 0\]
\[b = \frac{3c}{2}\]

Таким образом, значениями констант \(c\), \(m\) и \(b\) для треугольника \(ABC\) являются:

\[c = \frac{8m}{6}\]
\[m = -\frac{3c}{4}\]
\[b = \frac{3c}{2}\]

Теперь, имея значения констант, вы можете построить плотность совместного распределения для треугольника \(ABC\), подставляя эти значения в изначальную формулу:

\[f_{XY}(x,y) = \begin{cases}
\frac{8m}{6} & \text{при (x,y) в треугольнике ABD или в треугольнике ACD} \\
0 & \text{при (x,y) вне треугольника ABC}
\end{cases}\]

Где \(m = -\frac{3c}{4}\) и \(c\) может быть найдено по формуле \(c = \frac{8m}{6}\).

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти значения констант \(c\), \(m\) и \(b\) для данной задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.