Какие значения должны иметь коэффициенты квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c, где a> 0, чтобы |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=1?

Skat_8195

36

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения коэффициентов \( a, b \) и \( c \), чтобы все 3 значения функции \( f(x) \) при \( x = 1, 2 \) и \( 3 \) были равны 1.

Первым шагом мы подставляем значения \( x = 1, 2 \) и \( 3 \) в \( f(x) \), чтобы получить 3 уравнения:

\[
\begin{align*}
f(1) & = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 \\
f(2) & = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 1 \\
f(3) & = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 1
\end{align*}
\]

Далее, мы можем решить эту систему уравнений. Распишем каждое уравнение пошагово.

1. \( f(1) = a + b + c = 1 \)
2. \( f(2) = 4a + 2b + c = 1 \)
3. \( f(3) = 9a + 3b + c = 1 \)

Мы можем решить эту систему уравнений, используя любой метод, например, метод замены или метод сложения. Для простоты выберем метод сложения.

Выражаем переменную \( c \) из первого уравнения и подставляем во второе и третье уравнения:

1. \( c = 1 - a - b \)
2. \( 4a + 2b + (1 - a - b) = 1 \)
3. \( 9a + 3b + (1 - a - b) = 1 \)

Мы можем упростить эти уравнения:

2. \( 3a + b = 0 \)
3. \( 8a + 2b = 0 \)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее, используя метод сложения:

Вычитаем уравнение 2 из уравнения 3:

\( (8a + 2b) - (3a + b) = 0 \)

Упрощаем:

\( 5a + b = 0 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с одной неизвестной:

2. \( 3a + b = 0 \)
4. \( 5a + b = 0 \)

Вычитаем уравнение 2 из уравнения 4:

\( (5a + b) - (3a + b) = 0 \)

Упрощаем:

\( 2a = 0 \)

Таким образом, у нас только одно уравнение для определения значения \( a \):

\( 2a = 0 \)

Деление обеих сторон на 2 дает нам:

\( a = 0 \)

Однако, в условии задачи указано, что \( a > 0 \), поэтому значение \( a = 0 \) не подходит.

Итак, мы не можем найти значения коэффициентов \( a, b \) и \( c \), для которых все 3 значения функции \( f(x) \) при \( x = 1, 2 \) и \( 3 \) будут равны 1.