Какие значения х удовлетворяют уравнению: 4/х+5-3/х-1=26/х²+4х-5?

Marusya

23

Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению, нам нужно привести его к общему знаменателю и решить полученное квадратное уравнение.

Давайте начнем с уравнения:

\[\frac{4}{x} + 5 - \frac{3}{x - 1} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\]

Сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \((x)(x - 1)(x + 5)\), так как это наименьшее общее кратное данных знаменателей. Перепишем уравнение с общим знаменателем:

\[\frac{4(x - 1)(x + 5)}{x(x - 1)(x + 5)} + 5(x)(x + 5) - \frac{3(x)(x + 5)}{x(x - 1)(x + 5)} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\]

Теперь сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

\[\frac{4(x^2 + 4x - 5)}{x(x - 1)(x + 5)} + 5x(x + 5) - \frac{3x(x + 5)}{x(x - 1)(x + 5)} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\]

Теперь объединим все дроби в выражениях:

\[\frac{4x^2 + 16x - 20}{x(x - 1)(x + 5)} + \frac{5x^2 + 25x - 15x}{x(x - 1)(x + 5)} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\]

Приведем подобные слагаемые:

\[\frac{4x^2 + 16x - 20 + 5x^2 + 25x - 15x}{x(x - 1)(x + 5)} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\]

Упростим числитель:

\[\frac{9x^2 + 26x - 20}{x(x - 1)(x + 5)} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\]

Теперь мы можем уравнять числители у дробей и записать получившееся уравнение:

\[9x^2 + 26x - 20 = 26(x^2 + 4x - 5)\]

Раскроем скобки справа:

\[9x^2 + 26x - 20 = 26x^2 + 104x - 130\]

Теперь перенесем всё в левую часть уравнения:

\[9x^2 + 26x - 20 - 26x^2 - 104x + 130 = 0\]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[-17x^2 - 78x + 110 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя факторизацию, использование квадратного корня или формулу дискриминанта. Я воспользуюсь последним вариантом.

Для начала найдем дискриминант \(D\):

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = -17\), \(b = -78\) и \(c = 110\).

\[D = (-78)^2 - 4(-17)(110) = 6084 - (-7480) = 13564\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два различных вещественных решения.

Формула дискриминанта для квадратного уравнения выглядит следующим образом:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\) в эту формулу:

\[x = \frac{-(-78) \pm \sqrt{13564}}{2(-17)}\]

\[x = \frac{78 \pm \sqrt{13564}}{-34}\]

\[x = \frac{78 \pm 116}{-34}\]

Разделив числитель и знаменатель на -2, получим:

\[x = \frac{-39 \pm 58}{-17}\]

Теперь найдем два значения \(x\) путем решения двух уравнений:

1. \(x = \frac{-39 + 58}{-17} = \frac{19}{17} \approx 1.118\)

2. \(x = \frac{-39 - 58}{-17} = \frac{-97}{17} \approx -5.706\)

Таким образом, уравнение \(\frac{4}{x} + 5 - \frac{3}{x - 1} = \frac{26}{x^2 + 4x - 5}\) имеет два значения \(x\), которые удовлетворяют ему: \(x \approx 1.118\) и \(x \approx -5.706\).