1. Преобразуйте следующие выражения: 1) упростите выражение 1-sin^2 8a/cos2 8a - 1-tg11a ctg11a; 2) упростите выражение

Гоша

52

Задача 1:
1) Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.
используем следующие тождества:
- sin^2(α) + cos^2(α) = 1
- 1 + tg^2(α) = sec^2(α)
- ctg(α) = 1/tg(α)
Теперь перейдем к решению:
\(1 - \sin^2(8a)/\cos^2(8a) - 1 - \tan(11a)\cot(11a)\)

Перепишем данное выражение с использованием тригонометрических тождеств:

\(cos^2(8a) - \sin^2(8a) - \frac{sin(11a)}{cos(11a)} - \frac{cos(11a)}{sin(11a)}\)

Мы знаем, что \(cos^2(α) - sin^2(α) = cos(2α)\) и \(ctg(α) = 1/tg(α)\).
Применим эти тождества:

\(cos(16a) - \frac{sin(11a)}{cos(11a)} - \frac{cos(11a)}{sin(11a)}\)

Упростим дробные выражения, умножив числитель и знаменатель на противоположные синусы и косинусы:

\(cos(16a) - \frac{sin(11a)}{cos(11a)} - \frac{cos(11a)}{sin(11a)}\)

Теперь запишем соответствующие тождества для синуса и косинуса суммы двух углов:

\(cos(16a) - \frac{sin(11a)}{cos(11a)} - \frac{cos(11a)}{sin(11a)}\)

Данные тождества дают нам выражение:

\(cos(16a) - tan(11a) - cot(11a)\)

2) Теперь перейдем ко второму выражению:
\(cos(3b)cos(5ß) - sin(3ß)sin(5ß)\)

Снова воспользуемся тригонометрическими тождествами, в данном случае нам пригодятся следующие тождества:
- cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) = cos(α + β)
- sin(α)sin(β) = cos(α - β)

Для упрощения данного выражения, используем:

\(cos(3b + 5ß)\)

Задача 2:
Для нахождения значения, когда известны значения \(tg(a) = 1,25\) и \(tg(ß) = 9\), мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями.
Так как \(tg(a) = 1,25\) и \(tg(ß) = 9\), мы можем записать уравнения следующим образом:

\(tg(a) = \frac{sin(a)}{cos(a)} = 1,25\)

\(tg(ß) = \frac{sin(ß)}{cos(ß)} = 9\)

Мы знаем, что \(sin^2(a)+cos^2(a) = 1\) и \(sin^2(ß)+cos^2(ß) = 1\), а также \(\frac{sin(α)}{cos(α)} = tg(α)\), поэтому можно записать:

\(sin^2(a) + cos^2(a) = \frac{sin^2(a)}{cos^2(a)} + 1 = tg^2(a) + 1 = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4} = 1\)

\(sin^2(ß) + cos^2(ß) = \frac{sin^2(ß)}{cos^2(ß)} + 1 = tg^2(ß) + 1 = 81 + 1 = 82\)

После этого мы можем найти значения \(sin(a)\) и \(cos(a)\):

\(sin(a) = \sqrt{1 - cos^2(a)} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(cos(a) = \sqrt{1 - sin^2(a)} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\)

Таким образом, мы нашли значения для \(sin(a)\) и \(cos(a)\). Аналогично мы можем найти значения для \(sin(ß)\) и \(cos(ß)\):

\(sin(ß) = \sqrt{1 - cos^2(ß)} = \sqrt{1 - \frac{1}{82}} = \sqrt{\frac{81}{82}} = \frac{9}{\sqrt{82}}\)

\(cos(ß) = \sqrt{1 - sin^2(ß)} = \sqrt{1 - \frac{81}{82}} = \frac{1}{\sqrt{82}}\)

Таким образом, мы нашли значения для \(sin(ß)\) и \(cos(ß)\).