Какие значения х удовлетворяют условиям f (x) = 0 на интервале [пи/2, 3пи/2], при известном уравнении f(x) = sin2

Lev

59

Для начала, давайте найдем производную \(f(x)\) по переменной \(x\). Используя формулу дифференцирования для функции \(f(x) = \sin^2(x)\), получаем:

\[f"(x) = \frac{d}{dx} (\sin^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x)\]

Теперь найдем вторую производную \(f""(x)\) путем дифференцирования \(f"(x)\):

\[f""(x) = \frac{d}{dx} (2\sin(x)\cos(x))\]

Используя правило производной произведения функций, получаем:

\[f""(x) = 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)\]

Теперь давайте решим уравнение \(f""(x) = 0\) на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\):

\[2\cos^2(x) - 2\sin^2(x) = 0\]

Выразим \(2\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\):

\[2\cos^2(x) = 2(1 - \sin^2(x)) = 2 - 2\sin^2(x)\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[2 - 2\sin^2(x) - 2\sin^2(x) = 0\]

Раскроем скобки и сократим:

\[2 - 4\sin^2(x) = 0\]

Перенесем 2 на другую сторону:

\[4\sin^2(x) = 2\]

Разделим обе части на 4:

\[\sin^2(x) = \frac{1}{2}\]

Так как мы ищем значения \(\sin^2(x)\), которые равны \(\frac{1}{2}\), можно воспользоваться знанием тригонометрических соотношений для синуса:

\[\sin^2(x) = \frac{1}{2} \iff \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Теперь найдем значения \(x\), удовлетворяющие этому равенству на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\). Заметим, что на этом интервале значение синуса отрицательно, поэтому берем только отрицательное значение \(\sin(x)\):

\[\sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Чтобы решить это уравнение, возьмем обратный синус от обеих сторон:

\[x = \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

Осуществим вычисления:

\[x \approx -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Однако, мы ищем значения \(x\) на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\), поэтому нужно исключить все значения, которые меньше \(\frac{\pi}{2}\) и больше \(\frac{3\pi}{2}\).

Таким образом, решение уравнения \(f""(x) = 0\) на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\) - это:

\[x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\]