Какие значения х являются корнями уравнения 5tg2x+9tgx−2=0?

Lyagushka

4

Для решения данной задачи нам необходимо найти значения переменной \(x\), при которых уравнение \(5\tan^2x + 9\tan x - 2 = 0\) выполняется.

Давайте решим это уравнение шаг за шагом:

1. Приведем уравнение к квадратному виду, заменив \(\tan x\) на новую переменную, например, заменим \(\tan x = t\). Тогда уравнение примет следующий вид:
\[5t^2 + 9t - 2 = 0\]

2. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 5\), \(b = 9\) и \(c = -2\).

Вычислим дискриминант:
\[D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)\]

\[D = 81 + 40\]

\[D = 121\]

3. Поскольку дискриминант положительный (\(D > 0\)), у уравнения есть два корня: один корень квадратный и один корень отрицательный.

4. Найдем значения корней используя формулу квадратных уравнений:
\[t_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]
Подставим значения переменных в формулу:
\[t_{1,2} = \frac{{-9 \pm \sqrt{121}}}{{2 \cdot 5}}\]

5. Выполним вычисления:
\[t_1 = \frac{{-9 + 11}}{{10}} = \frac{{2}}{{10}} = \frac{{1}}{{5}}\]
\[t_2 = \frac{{-9 - 11}}{{10}} = \frac{{-20}}{{10}} = -2\]

6. Так как мы заменили \(\tan x\) на переменную \(t\), то значения \(\frac{{1}}{{5}}\) и \(-2\) являются корнями для \(\tan x\).

7. Найдем значения \(x\) из полученных значений \(\tan x\). Для этого воспользуемся обратными функциями:
\[x_1 = \arctan \frac{{1}}{{5}}\]
\[x_2 = \arctan (-2)\]

После вычислений, значения \(x_1\) и \(x_2\) округлим до десятых долей для удобства:
\[x_1 \approx 0.197\]
\[x_2 \approx -1.107\]

8. Таким образом, значениями переменной \(x\), при которых уравнение \(5\tan^2x + 9\tan x - 2 = 0\) выполняется, являются приближенно \(x_1 \approx 0.197\) и \(x_2 \approx -1.107\).

Надеюсь, что полученный ответ понятен и помогает вам понять, как найти значения \(x\), являющиеся корнями данного уравнения. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!