Какие значения х являются точками возрастания и убывания для функции y = 0,5 cos x

Звонкий_Ниндзя

20

Для того чтобы найти значения х в точках возрастания и убывания функции \(y = 0.5 \cos x\), мы должны исследовать производную этой функции. Производная функции позволяет нам определить, когда функция возрастает, а когда убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 0.5 \cos x\).
Используем формулу производной для функции \(f(x) = \cos x\), которая гласит:
\(\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x\)

Так как у нас функция имеет вид \(0.5 \cos x\), производная будет умножаться на коэффициент 0.5.
Таким образом, производная функции будет:
\(\frac{d}{dx} (0.5 \cos x) = 0.5(-\sin x) = -0.5 \sin x\)

Шаг 2: Решим уравнение \(0.5 \sin x = 0\) для определения точек, в которых производная равна нулю.
Уравнение \(0.5 \sin x = 0\) имеет решения при \(\sin x = 0\).
Решениями этого уравнения являются:
\(x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots\)

Шаг 3: Определим значения х, при которых производная отрицательна (функция убывает).
Мы должны найти значения х в интервалах между точками, где производная равна нулю. В этих интервалах функция должна убывать.
Из графика функции \(\cos x\) мы знаем, что функция убывает на интервалах \((2n\pi, (2n+1)\pi)\), где n - целое число.
Поскольку наша функция имеет коэффициент 0.5, интервалы убывания будут получаться умножением интервалов \((2n\pi, (2n+1)\pi)\) на 0.5.
Таким образом, значения х, при которых функция убывает, будут находиться в интервалах \((n\pi, (n+0.5)\pi)\), где n - целое число.

Шаг 4: Определим значения х, при которых производная положительна (функция возрастает).
Аналогично предыдущему шагу, мы должны найти значения х в интервалах между точками, где производная равна нулю. В этих интервалах функция должна возрастать.
Опираясь на график функции \(\cos x\), можно сделать вывод, что функция возрастает на интервалах \(((2n-1)\pi, 2n\pi)\), где n - целое число.
Учитывая коэффициент 0.5, интервалы возрастания будут получаться умножением интервалов \(((2n-1)\pi, 2n\pi)\) на 0.5.
Таким образом, значения х, при которых функция возрастает, будут находиться в интервалах \(((n-0.5)\pi, n\pi)\), где n - целое число.

Итак, ответ на задачу:
Значения х, являющиеся точками возрастания для функции \(y = 0.5 \cos x\), находятся в интервалах \(((n-0.5)\pi, n\pi)\), где n - целое число.
Значения х, являющиеся точками убывания для функции \(y = 0.5 \cos x\), находятся в интервалах \((n\pi, (n+0.5)\pi)\), где n - целое число.