Какие значения координат вершин параболы в следующих уравнениях: 1)y=x²+7 2)y=(x+8)² 3)y=(x-6)²+9? Как изобразить

Морозный_Полет

52

Конечно! Давайте разберемся с каждым уравнением поподробнее.

1) Уравнение параболы: \(y = x^2 + 7\)

Для нахождения вершин параболы воспользуемся формулами вершины параболы:
\(x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\) и \(y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}})\)

В данном уравнении квадратичной функции \(a = 1\), \(b = 0\) и \(c = 7\). Применим формулы:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\]
\[y_{\text{вершины}} = f(0) = 0^2 + 7 = 7\]

Таким образом, координаты вершины параболы для данного уравнения равны (0, 7).

2) Уравнение параболы: \(y = (x + 8)^2\)

Аналогично предыдущей задаче, необходимо найти координаты вершины параболы. В данном уравнении \(a = 1\), \(b = 8\) и \(c = 0\). Применим формулы:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4\]
\[y_{\text{вершины}} = f(-4) = (-4 + 8)^2 = 16\]

Таким образом, координаты вершины параболы для данного уравнения равны (-4, 16).

3) Уравнение параболы: \(y = (x - 6)^2 + 9\)

Снова используем формулы для нахождения вершины параболы. В данном уравнении \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 9\). Применим формулы:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]
\[y_{\text{вершины}} = f(3) = (3 - 6)^2 + 9 = 0\]

Таким образом, координаты вершины параболы для данного уравнения равны (3, 0).

Теперь рассмотрим, как изобразить эти параболы на графике. Для этого нужно построить координатную плоскость, на которой оси \(x\) и \(y\) пересекаются в точке (0, 0).

Для первого уравнения \(y = x^2 + 7\), координаты вершины параболы равны (0, 7). Это означает, что вершина находится над осью \(x\) на расстоянии 7 единиц. При \(x = 0\) значение \(y\) равно 7. У параболы есть симметричные относительно вертикальной оси точки, т.е. если взять отрицательное значение \(x\) с тем же абсолютным значением, то получим такие же значения \(y\). Например, если \(x = -1\), то \(y = 0^2 + 7 = 7\). Также, если \(x = 1\), также получим \(y = 0^2 + 7 = 7\). Изобразим это на графике:

\[
\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-5, xmax=5,
ymin=0, ymax=10,
xtick={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},
ytick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
grid=major,
grid style=dashed,
]
\addplot[domain=-4:4,smooth,thick,black]{x^2 + 7};
\node[label={180:{(0, 7)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:0,7) {};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]
\]

Для второго уравнения \(y = (x + 8)^2\), координаты вершины равны (-4, 16). Вершина находится в точке (-4, 16), что означает, что пара значений (-4, 16) лежит на параболе. Также, парабола имеет ось симметрии, проходящую через вершину (-4, 16), так что значения на одинаковом расстоянии от вершины будут иметь одинаковую высоту. Например, при \(x = -5\), \(y = (-5 + 8)^2 = 9^2 = 81\), и при \(x = -3\), \(y = (-3 + 8)^2 = 5^2 = 25\). Изобразим это на графике:

\[
\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-10, xmax=2,
ymin=0, ymax=20,
xtick={-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0},
ytick={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18},
grid=major,
grid style=dashed,
]
\addplot[domain=-9:1,smooth,thick,black]{(x + 8)^2};
\node[label={90:{(-4, 16)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:-4,16) {};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]
\]

Для третьего уравнения \(y = (x - 6)^2 + 9\), координаты вершины равны (3, 0). Вершина находится в точке (3, 0), что означает, что пара значений (3, 0) лежит на параболе. Аналогично второму уравнению, парабола имеет ось симметрии, проходящую через вершину (3, 0). Например, при \(x = 2\), \(y = (2 - 6)^2 + 9 = (-4)^2 + 9 = 16 + 9 = 25\), и при \(x = 4\), \(y = (4 - 6)^2 + 9 = (-2)^2 + 9 = 4 + 9 = 13\). Изобразим это на графике:

\[
\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-2, xmax=8,
ymin=0, ymax=20,
xtick={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},
ytick={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18},
grid=major,
grid style=dashed,
]
\addplot[domain=-1:7,smooth,thick,black]{(x - 6)^2 + 9};
\node[label={90:{(3, 0)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:3,0) {};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]
\]

Вот и готово! Мы нашли координаты вершин всех трех парабол и изобразили их на графике. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!