Find the solution to the equation f (x) = g (x), given that f(x) = 6√x and g(x) = ½x

Лисичка123

40

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас дана функция \(f(x) = 6\sqrt{x}\) и функция \(g(x) = \frac{1}{2}x\). Мы ищем решение уравнения \(f""(x) = g""(x)\).

Начнем с нахождения второй производной обеих функций. Для этого сначала найдем первую производную функций \(f(x)\) и \(g(x)\), а затем найдем вторую производную.

Первая производная \(f"(x)\) функции \(f(x) = 6\sqrt{x}\) может быть найдена с помощью правила мощения (Chain Rule) и правила дифференцирования функции квадратного корня.

\[f"(x) = \frac{d}{dx} (6\sqrt{x}) = 6 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}\]

Теперь найдем первую производную \(g"(x)\) функции \(g(x) = \frac{1}{2}x\). Так как \(g(x)\) является линейной функцией, ее первая производная будет просто коэффициентом при \(x\).

\[g"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем вторые производные \(f""(x)\) и \(g""(x)\). Для этого снова продифференцируем первые производные.

Вторая производная \(f""(x)\) будет равна производной функции \(\frac{3}{\sqrt{x}}\). Для этого мы применяем правило дифференцирования функции деления.

\[f""(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{3}{\sqrt{x}} \right) = \frac{3 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})}{(\sqrt{x})^2} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{3}{2x\sqrt{x}}\]

Теперь найдем вторую производную \(g""(x)\), которая будет равна нулю, так как первая производная \(g"(x)\) была константой.

\[g""(x) = \frac{d}{dx}(g"(x)) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\right) = 0\]

Теперь у нас есть уравнение \(f""(x) = g""(x)\):

\[\frac{3}{2x\sqrt{x}} = 0\]

Так как две функции равны, знаменатель \(\frac{3}{2x\sqrt{x}}\) должен быть равен нулю. Однако, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому это уравнение не имеет решений.

Итак, уравнение \(f""(x) = g""(x)\) не имеет решений при данных функциях \(f(x) = 6\sqrt{x}\) и \(g(x) = \frac{1}{2}x\).