Какие значения m позволяют прямой y=m пересечь график функции y=x^2+6x+9 в одной или двух точках?

Pechenye

56

Чтобы найти значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) пересекает график функции \(y=x^2+6x+9\) в одной или двух точках, нужно установить условия, при которых уравнение функции равно уравнению прямой.

Для начала, заменим \(y\) в уравнении функции на \(m\):

\(m=x^2+6x+9\)

Далее, сравним это уравнение с уравнением прямой \(y=m\):

\(x^2+6x+9=m\)

Теперь решим это уравнение квадратным способом. Для этого приведем уравнение к виду:

\(x^2+6x+9-m=0\)

Данное уравнение представляет собой уравнение квадратного трехчлена. Решение квадратного уравнения можно получить, используя формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a=1\), \(b=6\) и \(c=9-m\).

Теперь подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу дискриминанта:

\(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9-m)\)

Выполняем вычисления:

\(D = 36 - 36 + 4m\)

\(D = 4m\)

Для того чтобы прямая \(y=m\) пересекла график функции \(y=x^2+6x+9\) в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант \(D\) был равен нулю:

\(D = 0\)

Подставим выражение для \(D\):

\(4m = 0\)

Из данного уравнения можем найти значение \(m\):

\(m = 0\)

То есть, прямая \(y=0\) пересекает график функции \(y=x^2+6x+9\) в одной точке.

Аналогично, чтобы прямая \(y=m\) пересекала график функции \(y=x^2+6x+9\) в двух точках, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант \(D\) был больше нуля:

\(D > 0\)

Подставим выражение для \(D\):

\(4m > 0\)

Разделим оба выражения на 4:

\(m > 0\)

То есть, любое положительное значение \(m\) позволяет прямой \(y=m\) пересечь график функции \(y=x^2+6x+9\) в двух точках.

Итак, значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) пересекает график функции \(y=x^2+6x+9\) в одной или двух точках, представлены следующим образом:

Для одной точки: \(m=0\)
Для двух точек: \(m > 0\)