Какие значения неизвестных элементов треугольника abc, если: 1) значение b равно 3, значение c равно 4, а угол а равен

Ledyanoy_Podryvnik

20

Для решения данных задач по треугольникам нам понадобится знание теоремы синусов. Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника:

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) - соответствующие углы.

Теперь рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1) У нас дано значение \(b = 3\), значение \(c = 4\) и угол \(\alpha = 135^\circ\). Нам нужно найти значение \(a\). В данном случае у нас даны две стороны и один угол, поэтому мы можем использовать теорему синусов для нахождения \(a\).

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\]

Поскольку \(\alpha\) - это угол, соответствующий стороне \(a\), мы можем записать:

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{3}{\sin\beta} = \frac{4}{\sin\gamma}\]

Зная, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), мы можем найти угол \(\beta\):

\(\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma\)
\(\beta = 180^\circ - 135^\circ - 90^\circ = -45^\circ\)
(здесь мы использовали факт, что сумма углов треугольника равняется \(180^\circ\))

Но угол не может быть отрицательным, поэтому мы можем использовать дополнительный угол, чтобы получить положительное значение:

\(\beta = 180^\circ - (-45^\circ) = 225^\circ\)

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти \(a\):

\(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{3}{\sin\beta}\)

\(\frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{3}{\sin 225^\circ}\)

Далее, заменяя синусы углов на их значения, мы получаем:

\(\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{3}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}\)

\(\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{-3\sqrt{2}}{1}\)

Перекрестное умножение дает:

\(a = \frac{-3\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Сокращаем радикалы и упрощаем:

\(a = -3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(a = -3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\)
\(a = -3 \cdot 2\)
\(a = -6\)

Таким образом, значение \(a\) равно -6.

2) В этой задаче известны значения \(a = 2.4\), \(b = 1.3\) и угол \(\gamma = 28^\circ\). Нам нужно найти значение \(c\).

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому мы можем найти угол \(\alpha\):

\(\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma\)
\(\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\)

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти \(c\):

\(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\)

\(\frac{2.4}{\sin 62^\circ} = \frac{1.3}{\sin 90^\circ} = \frac{c}{\sin 28^\circ}\)

Заменяем синусы углов на их значения:

\(\frac{2.4}{\sin 62^\circ} = \frac{1.3}{1} = \frac{c}{\sin 28^\circ}\)

Теперь мы можем найти \(c\), перекрестным умножением:

\(c = \frac{2.4}{\sin 62^\circ} \cdot \sin 28^\circ\)

Подставляем значения и считаем:

\(c = \frac{2.4}{\sin 62^\circ} \cdot \sin 28^\circ \approx 3.07\)

Таким образом, значение \(c\) примерно равно 3.07.

3) В этой задаче известны значения \(a = 5\), угол \(b = 30^\circ\) и угол \(c = 45^\circ\). Нам нужно найти значение \(b\).

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому мы можем найти угол \(\gamma\):

\(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta\)
\(\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ\)

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти \(b\):

\(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\)

\(\frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ}\)

Заменяем синусы углов на их значения:

\(\frac{5}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)

Упрощаем:

\(5\sqrt{2} = 2b = \frac{c}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)

Далее, получаем значение \(b\):

\(2b = 5\sqrt{2}\)
\(b = \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Таким образом, значение \(b\) равно \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).

4) В этой задаче известны значения \(a = 7\), \(b = 2\) и \(c\). Нам нужно найти значение \(c\).

В данном случае мы можем использовать теорему Пифагора, так как известны две стороны треугольника.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Теперь подставляем известные значения:

\(7^2 + 2^2 = c^2\)

\(49 + 4 = c^2\)

\(53 = c^2\)

Извлекаем квадратный корень от обеих сторон:

\(c = \sqrt{53}\)

Таким образом, значение \(c\) равно \(\sqrt{53}\).