Какие значения остальных тригонометрических функций можно найти при известном значении ctgt=-0,75; при условии

Ярило_9737

43

Хорошо! Давайте решим задачу по нахождению значений остальных тригонометрических функций при известном значении \(ctgt = -0,75\). Обратный котангенс, или \(ctgt\), это соотношение между котангенсом и тангенсом, и может быть определен как \(\frac{1}{\tan(t)}\).

1. Первое условие: \(sint > 0\)

В этом случае мы знаем, что синус положителен. Поскольку \(ctgt\) отрицательное, это означает, что котангенс отрицателен, а значит, тангенс должен быть положителен. Применяя определение \(ctgt = -0,75\), мы имеем:

\(\frac{1}{\tan(t)} = -0,75\)

Теперь найдем значение тангенса:

\(\tan(t) = \frac{1}{-0,75} = -\frac{4}{3}\)

Учитывая, что синус положителен, мы можем использовать следующее соотношение:

\(\sin(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(t)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}}\)

Вычисляем:

\(\sin(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{16}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}\)

Теперь найдем значения остальных тригонометрических функций:

\(\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)

\(\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\)

\(\cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\)

\(\sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}\)

\(\csc(t) = \frac{1}{\sin(t)} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}\)

2. Второе условие: \(sint = -1\)

Здесь мы знаем, что синус равен -1. Следуя аналогичному подходу, мы можем найти значения остальных тригонометрических функций. Применяя определение \(ctgt = -0,75\), мы имеем:

\(\frac{1}{\tan(t)} = -0,75\)

Находим значение тангенса:

\(\tan(t) = \frac{1}{-0,75} = -\frac{4}{3}\)

В данном случае, синус отрицателен, поэтому:

\(\sin(t) = -1\)

Подставим значения в остальные тригонометрические функции:

\(\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - (-1)^2} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0\)

Здесь мы видим, что косинус равен 0, а значит, тангенс и котангенс будут неопределенными в данном случае.

Другие тригонометрические функции в данном случае также не определены.

3. Третье условие: \(t > \frac{3\pi}{2}\)

В этом случае мы имеем значение угла \(t\), которое больше \(\frac{3\pi}{2}\). Поскольку \(ctgt\) отрицательное, это означает, что котангенс отрицателен и, следовательно, тангенс должен быть положительным. Мы можем применить определение \(ctgt = -0,75\):

\(\frac{1}{\tan(t)} = -0,75\)

Теперь найдем значение тангенса:

\(\tan(t) = \frac{1}{-0,75} = -\frac{4}{3}\)

Следующая функция, синус, должна быть положительной, так как \(t\) находится во втором и третьем квадрантах. Используем следующее соотношение:

\(\sin(t) = \sqrt{1 - \cos^2(t)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sec^2(t)}\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\cos(t)}\right)^2}\right)}\)

Подставляем значение тангенса:

\(\sin(t) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(t)}}\right)^2}\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}}\right)^2}\right)}\)

Вычисляем:

\(\sin(t) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}}\right)^2}\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{16}{9}}}\right)^2}\right)}\)

\(\sin(t) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{16}{9}}}\right)^2}\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}}}\right)^2}\right)}\)

\(\sin(t) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\frac{5}{3}}}\right)^2}\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\frac{3}{5}}\right)^2\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{-16}{9}} = \frac{4i}{3}\)

Обратите внимание, что в данном случае синус является мнимым числом, так как \(t\) находится в третьем квадранте.

Таким образом, другие тригонометрические функции также будут мнимыми числами и не определены в данном случае.

Здесь мы рассмотрели все возможные условия и найдено значение для каждой тригонометрической функции в соответствии с каждым условием. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.