Какие значения параметра a делают функцию y=6x^3−18x убывающей на интервале [a+6;a+8]?

Сверкающий_Пегас

3

Хорошо, решим эту задачу. Для определения значений параметра a, при которых функция y=6x^3−18x убывает на интервале [a+6; a+8], мы должны проанализировать производную функции и установить, когда она отрицательна в данном интервале.

Первым шагом будет вычисление производной функции y. Используя правило дифференцирования для многочленов, мы дифференцируем каждый член функции по отдельности. Таким образом, получаем:

\[y" = \frac{d}{dx}(6x^3) - \frac{d}{dx}(18x)\]

Упрощая выражение, получим:

\[y" = 18x^2 - 18\]

Далее, чтобы определить значения параметра a, для которых функция убывает, мы должны найти интервалы, на которых производная отрицательна.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[18x^2 - 18 = 0\]

Решим это уравнение, используя метод факторизации:

\[18(x^2 - 1) = 0\]

\[(x - 1)(x + 1) = 0\]

Таким образом, получаем два решения: x = 1 и x = -1.

Далее, мы можем построить таблицу знаков производной, чтобы определить знаки производной на интервалах:

Интервал -∞ | -1 | 1 | +∞
Производная | + | - | + | +

Исходя из таблицы, производная отрицательна на интервале от -1 до 1, и это означает, что функция y=6x^3−18x убывает на интервале [-1 + 6; -1 + 8] или [5; 7].

Таким образом, значения параметра a, при которых функция y=6x^3−18x убывает на интервале [a+6; a+8], будут [-1, 1].

Надеюсь, эта информация полезна и понятна. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!